Semaine 9

Soit $f$ une fonction continue et décroissante de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$. On considère une suite $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$ strictement décroissante de limite $1$. On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f_n = r_nf$.

1. Montrer que $f$ et les $f_n$ admettent un unique point fixe, noté $l$ et $l_n$.
2. Étudier la convergence de la suite $(l_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

Indication : On pourra montrer que $(l_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.

On considère dans cet exercice les suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telles que pour tout $n\in\mathbb{N}, u_n \neq u_{n-1}$.
On dit qu'une suite \textit{converge lentement}, si elle converge et si ils existent $N \in \mathbb{N}$ et $p > 0$, tels que : \[ \forall\ n\geqslant N, \quad \left|\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right| \geqslant p \]

1. Soit $q \in \mathbb{C}^*$, tel que $|q|<1$. Montrer que toute suite géométrique de raison $q$ converge lentement.
2. Montrer que la suite $u_n = \frac{1}{n!}$ ne converge pas lentement.
3. Montrer que si une suite converge lentement alors, $p \in ]0,1[$.

Bonlojuir $test$ \[ \begin{cases}u_0 = u_1 = 1 \\ \forall\ n \in \mathbb{N},\quad u_{n+2} = \ln(1+u_n) + \ln(1+u_{n+1})\end{cases} \]

1. On suppose que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge. Que peut-on dire de sa limite ?
2. Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée.
3. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n = \sup\{u_k,\ k \geqslant n\}$ et $b_n = \inf\{u_k,\ k \geqslant n\}$. Justifier l'existence de ces deux suites. Montrer que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergent.
4. En déduire que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.

Soit $E$ et $F$ deux ensembles quelconques, non vides.

1. On suppose qu'il existe une surjection de $E$ dans $F$. Montrer qu'il existe une injection de $F$ dans $E$.
2. On suppose qu'il existe une injection de $E$ dans $F$. Montrer qu'il existe une surjection de $F$ dans $E$.

Soit $a,b,c,d \in \mathbb{C}$ distincts,

1. Montrer que l'application,\[f : z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}\] définit une bijection de $\mathbb{C}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}$ dans $\mathbb{C}\backslash\left\{\frac{a}{c}\right\}$
2. Montrer que $f$ possède deux points fixes.
3. Montrer que $f$ est déterminée par l'image de trois de ses points, autrement dit que si on donne $f(x_1) = y_1$, $f(x_2) = y_2$, $f(x_3) = y_3$, on détermine entièrement les coefficients $a,b,c,d$.