Semaine 8

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \quad\quad v_n = u_n +\frac{1}{n\cdot n!} \]

1. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
2. On note $\ell$ leur limite commune. On raisonne par l'absurde et on suppose que $\ell = \frac{p}{q}$. Montrer que, \[\sum_{k=0}^q \frac{q}{k!} < p < \sum_{k=0}^q\frac{q}{k!} + \frac{1}{q!}\] en utilisant un encadrement de $\ell$ par $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
3. En déduire une contradiction, et donc l'irrationalité de $\ell$.

Soit $a$ un réel positif. On définit par récurrence la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, \[ \begin{cases}u_{n+1} = \frac{u_n + \frac{a}{u_n}}{2} \\ u_0 > 0\end{cases} \]

1. Justifier la bonne définition de cette suite
2. Montrer que $u_n^2-a \geqslant 0$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
3. Montrer que $u_n$ est monotone.
4. En déduire que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge, et exprimer sa limite.

Donner un exemple de suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ divergente telle que, \[ \forall k \in \mathbb{N}, (u_{kn})_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge} \]

Étudier la suite suivante, \[ \begin{cases}u_{n+1} = \frac{1-u_n^2}{1+u_n^2} \\ u_0 \in \mathbb{R}\end{cases} \]

Étudier la convergence de la suite définie par \[ u_{n+1} = u_n + u_n^2 \] en fonction de son premier terme $u_0\in\mathbb{R}$

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, la suite définie par \[ \begin{cases}u_{n+1} = u_n\frac{1+u_n}{2+u_n} \\ u_0 \in \mathbb{R}_+^*\end{cases} \] Montrer que $u_n \to 0$.

Soit $u_0 > 0$, on définit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par \[ u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n} \]

1. Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bien définie
2. Calculer la limite de $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$

On définit par récurrence les suites $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(q_n)_{n\in\mathbb{N}}$, \[ \begin{cases}p_{n+1} = p_n + 2q_n & q_{n+1} = p_n + q_n,\quad\quad \forall\ n\in\mathbb{N} \\ p_0 = 1 & q_0 = 1\end{cases} \] Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{p_n}{q_n} = \sqrt{2}$

Soit $p$ un réel strictement positif. On définit par récurrence la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, \[ \begin{cases}u_{n+1} = \sqrt{p + u_n} \\ u_0 = p\end{cases} \]

Montrer que $\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{1 + \sqrt{4p+1}}{2}$.