Semaine 6

1. $y' + y = \frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb{R}$
2. $(1+x)y' + y = 1 + \ln(1+x)$ sur $]-1;+\infty[$
3. $y'-\frac{y}{x} = x^2$ sur $]0;+\infty[$

Démontrer que toutes les solutions de l'équation différentielle \[ y'(t)-\cos(t)y(t)=0 \] sont bornées.

Résoudre l'équation différentielle : \[ (1+e^x)y'' + 2e^xy' + (2e^x+1)y = xe^x \] On s'intéressera à $z : x \mapsto (1+e^x)y(x)$.

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Trouvez les fonctions \(f\) continues telles que, pour tout \(x > a\), \[ \int_a^{x} f(t) \mathrm{d} t \leqslant f (x) \]

Indication : On pourra se servir de la fonction $u : x \mapsto f(x) - \int_a^x f(t) \mathrm{d} t$, et de la fonction $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\mathrm{d} t$, puis se ramener à une équation différentielle.

Montrer que pour tout $f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$, telle que $f(1) = 1$ et $f(0) = 0$, \[ \frac{1}{e} < \int_0^1 |f'(t)-f(t)| \mathrm{d}t \]

Indication : On pourra chercher les fonctions $u$ vérifiant l'équation différentielle $u'-u = f'-f$.

On considère l'équation suivante, d'inconnue $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})$, \[ \forall x \geqslant 0,\ x^2 f(x) = 2 \int_0^x t f(x-t) dt \]

1. Montrer que si $f$ est solution, $f$ est nécessairement de classe $C^{\infty}$
2. Trouver une équation différentielle d'ordre 2 vérifiée par $f$.
3. En déduire toutes les solutions de l'équation.

Soit $a$ un réel non nul. Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$ et $T-$périodique, avec $T>0$. Montrer que l’équation différentielle \[ y' + ay = f \] admet une et une seule solution $T-$périodique sur $\mathbb{R}$.

Soit $a,b$ deux fonctions continues, telles que $a$ est impaire et $b$ est paire.
Montrer que l'équation différentielle : \[ y'(t) + a(t) y(t) = b(t) \] admet une unique solution impaire.