Semaine 5

Trouver les points $z\in\mathbb{C}$ tels que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ sont alignés.

On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n(x) \mathrm{d}x \] Calculer $I_0$, $I_1$. Trouver une relation de récurrence d'ordre 2.

1. Connaissant l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes, en proposer une version pour les fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
2. La démontrer.
3. Application : on note $\displaystyle \varphi : \begin{cases} \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}_+^*) &\to \mathbb{R} \\ f &\mapsto \int_a^b f \times \int_a^b \frac{1}{f} \end{cases}$. Montrer que $\varphi$ est minorée et atteint sa borne inférieure.

Soit $T>0$. Soit $f$ une fonction continue et $T$-périodique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que pour tout $x \in\mathbb{R}$, \[ \int_x^{x+T} f(t) \mathrm{d}t = \int_0^T f(t) \mathrm{d}t \]

Calculer des primitives des fonctions suivantes,

1. $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{\mathrm{Arcsin}(x) \sqrt{1-x^2}}$
2. $\displaystyle x \mapsto \frac{\sin(\ln(x))}{x}$
3. $\displaystyle x \mapsto \frac{e^x}{e^x + 2}$

Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Soient $a < b$, deux réels
On note : \[ g : x \mapsto \int_a^b f(x+t) \cos(t) \mathrm{d}t \]

1. Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $g'$.

1. Soit $n\in\mathbb{N}$, calculer $\displaystyle\int_0^1 x^{3n+1}\mathrm{d}x$.
2. En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{3k+2}$