Semaine 4

Soit $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^n \cos\left(\frac{2k+1}{2n+1} \pi\right)$. Calculer $\displaystyle \lim_{N\to + \infty} \sum_{n=0}^{N} S_n$.
Indication : Factoriser $S_n$.

Montrer que pour tout $x \in ]0,2\pi[$, en admettant que la quantité est bien définie, \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2} \] Énoncé plus détaillé :
On note pour tout $\displaystyle N\in\mathbb{N}^*, f_N : x \mapsto \sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{n}$.

1. Calculer et simplifier $f_N'(x)$, pour tous $x\in ]0,2\pi[, N\in\mathbb{N}^*$.
2. En déduire une expression de $f_N(x)$.
3. Conclure.

On pourra admettre la bonne définition de $I_N = \int_x^\pi \frac{\sin(t)\sin(Nt)}{2(1-\cos(t))}\mathrm{d}t$, et que cette quantité tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$ (Lemme de Riemann-Lebesgue)

On pose pour tous $n \in \mathbb{N}^*$, $x\in\mathbb{R}$, \[ F_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin(kx)}{k} \]

1. Transformer que $2\sin\left(\frac{x}{2}\right)F_n'(x)$ en la différence de deux sinus, pour tous $n\in\mathbb{N}^*,\ x\in\mathbb{R}$.
2. Montrer que $F_n'$ possède un nombre fini dans $[0,\pi]$, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et que pour tout zéro $z$ de $F_n'$ dans $[0,\pi]$, $F_n(z) \geqslant F_{n-1}(z)$
3. En admettant qu'une fonction $f$ continue sur un segment atteint ses bornes (Théorème des bornes atteintes) et qu'en un extremum $x$, si elle est dérivable, $f'(x) = 0$, montrer que, $F_n(x) > 0$. (Inégalité de Fejér-Jackson).

1. Rappeler la formule de $\tan(a-b)$.
2. Calculer

\[ \lim_{N\to+\infty} \sum_{n=0}^N \mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{n^2 + 3n + 3}\right) \]

Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $\displaystyle z = \mathrm{e}^{\frac{2i\pi}{n}}$.

1. Soit $k\in[\![1,n-1]\!]$, donner le module et un argument de $z^k - 1$.
2. Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} |z^k-1| = 2 \mathrm{cotan}\left(\frac{\pi}{2n}\right)$, où $\mathrm{cotan}$ est la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation, \[ (z + i)^n = (z-i)^n \]

On pose $\omega = \exp\left(\frac{2i\pi}{5}\right)$.

1. Trouver un polynôme du second degré dont les racines $\omega + \omega^4$, et $\omega^2 + \omega^3$.
2. En déduire $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$, puis $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$ et $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$.

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrez que les solutions de $1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1} = nz^n$, sont de module inférieur ou égal à $1$. Possède-t-elle des solutions de module 1.