Semaine 30

\[u_{n+1} = \cos(u_n)\] Montrer la convergence de $u_n$.

Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$. On considère $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $[0,1]$. On pose \[(f|g) = \sum_{k\geqslant 1} f(a_k)g(a_k)\]

1. Justifier la bonne définition.
2. Montrer que $(\cdot | \cdot)$ est un produit scalaire, si $(a_n)$ est dense dans $[0,1]$.

Prouver que l'ensemble \[\left\{\int_a^b f(t) \mathrm{d}t \times \int_a^b \frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t, f \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R}_+^*)\right\}\] admet une borne inférieure $m$ et que celle-ci est atteinte.

Soit $E$ un espace euclidien, $a,b \in E$ non nuls et orthogonaux. On note $f \in \mathcal{L}(E)$ définie par, \[\forall x \in E,\, f(x) = (b|x) a + (a|x) b\]

1. Montrer que $\mathrm{Ker}\ f$ et $\mathrm{Im}\ f$ sont supplémentaires orthogonaux.
2. Donner la matrice de $f$ dans une base orthonormée bien choisie.

Déterminer les polynômes $P$ tels que $\int_{-1}^1 P^2$ soit minimale.

Soit $\varphi : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ une bijection.

1. Montrer que \[\sum_{n\in\mathbb{N}^*} \frac{1}{\varphi(n)^2}\] converge.
2. Montrer que \[\sum_{n\in\mathbb{N}^*} \frac{1}{\varphi(n)n}\] converge.