- Semaine 3

Questions de cours

Démonstration combinatoire de $\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ + tout fonction strictement monotone est injective
Si $f'$ est croissante, le graphe de $f$ est situé au-dessus de ses tangentes + $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$
Pour tous $\alpha > 0,\ \beta \in \mathbb{R}$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} = 0$ en admettant que $\displaystyle\lim_{u\to+\infty}\frac{\ln u}{u} = 0$.
Inégalité de Cauchy-Schwartz : $\displaystyle\left| \sum_{k=1}^n x_k y_k\right| \leqslant \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}$, pour tous $x_1,\dots,x_n, y_1,\dots,y_n \in \mathbb{R}$.

Soit $f \colon [0,1] \to [0,1]$, continue. Montrer que $f$ admet un point fixe. Que dire si $f$ est strictement décroissante ?

Montrer que, \[ \forall\ x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \frac{2x}{\pi} \leqslant \sin x \leqslant x \]

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin(2x))}{\sin(x)}$
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\cos^n(x) - 1}{\cos(x) - 1}$
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)^{(\ln x)}}{x}$

Soit $\displaystyle f \colon x \mapsto \sin\left(\frac{\pi}{2}\mathrm{th}(x)\right)$

Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur une partie de $\mathbb{R}$ à préciser.

Montrer que \[\forall\ x \in ]0,1[,\ (1-x)^{\frac{1-x}{x}} \geqslant \frac{1}{e}\]

Calculer pour $(a,b) \in \mathbb{R},\ n\in\mathbb{N}$, \[ \sum_{k=0}^n \mathrm{ch}(ak + b) \]