Semaine 29

Soit $(X_n)_{1 \leqslant n \leqslant N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ suivant toutes la même loi. On note pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $R_n$ le cardinal de $\{X_k, 1 \leqslant k \leqslant n\}$.

1. Montrer que $\forall\ a \in \mathbb{N},\, \mathbb{E}(R_n) \leqslant a + n \mathbb{P}(X_1 \geqslant a)$.
2. Montrer que $\mathbb{E}(R_n) = o(n)$.

Soit $n \geqslant 2$, $A_1,\dots,A_n$ des points distincts du plan. Chaque couple $\{A_i,A_j\}$ est relié avec probabilité $p_n$. Un point est isolé s'il n'est relié à aucun autre point.
Soit pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $X_i$ la variable de Bernoulli égale à $1$ si $A_i$ est isolé, $0$ sinon.
On pose $S_n = X_1 + \dots + X_n$.

1. Trouver la loi de $X_i$ et son espérance.
2. Majorer $\mathbb{P}(S \geqslant 1)$.
3. On suppose pour la suite qu'il existe $c > 0,\, p_n = \frac{c \ln(n)}{n}$.
   Pour cette question, on suppose $c > 1$. Montrer que $\lim_{n\to +\infty} \mathbb{P}(S_n = 0) = 1$.
4. Soit $Z$ une variable aléatoire finie à valeurs dans $\mathbb{N}$. Montrer que $\mathbb{P}(Z = 0) \leqslant \frac{\mathbb{V}(Z)}{\mathbb{E}(Z)}$.
5. On suppose $c < 1$. Calculer $\mathbb{E}(S_n^2)$ et en déduire la limite de $\mathbb{P}(S_n = 0)$.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a_0,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$, pour que, \[(P,Q) \mapsto \sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k)\] soit un produit scalaire.
2. Cette condition étant réalisée, donner une base orthonormée de $\mathbb{R}_n[X]$ pour ce produit scalaire.
3. Soit $H$ l'ensemble des $P \in \mathbb{R}_n[X]$, tels que, \[\sum_{k=0}^n P(a_k) = 0\] Déterminer $H^{\perp}$.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. On pose, pour $f,g \in E$, \[\langle f, g\rangle = \int_0^1 f(t)g(t) t^2 \mathrm{d}t\]

1. Montrer que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est un produit scalaire.
2. Calculer $\int_0^1 t^n \ln t \mathrm{d}t$.
3. Soit $F = \{x \mapsto ax + b\ |\ a,b \in \mathbb{R}\}$. Soit $u \in E$ définie par $\forall x\in ]0,1],\ u(x) = x\ln x$. Déterminer le projeté orthogonal de $u$ sur $F$.
4. Calculer $\inf_{a,b \in \mathbb{R}} \int_0^1 (at + b - t \ln t)^2 t^2 \mathrm{d}t$.