Semaine 28

Soit $P$ un polynôme unitaire à coefficients réels scindé sur $\mathbb{R}$. On note $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ ses racines, et $a_1,\dots,a_{n-1}$ ses coefficients.

1. Montrer que $\frac{n-1}{n} a_{n-1}^2 \geqslant 2a_{n-2}$.
2. Montrer ensuite que toute racine de $P$ appartient à l'intervale $I$, où $I = \left[-\frac{a_{n-1}}{n} - \sqrt{\frac{n-1}{n} a_{n-1}^2 - 2a_{n-2}} ; -\frac{a_{n-1}}{n} + \sqrt{\frac{n-1}{n} a_{n-1}^2 - 2a_{n-2}}\right]$.

On se servira d'une variable aléatoire $X$ de loi définie par $\mathbb{P}(X = \lambda_k) = \frac{m_{\lambda_k}}{n}$. On exprimera les différentes quantitées considérées en fonction de cette variable.

Soit $K$ un corps, $A, H \in \mathcal{M}_n(K)$ et $\mathrm{rg}(A) = 1$.

1. Montrer que $t \mapsto \mathrm{det}(A+tH)$ est affine.
2. Calculer le déterminant de la matrice, \[\begin{pmatrix} x_1 & a & \cdots & a \\ b & x_2 & \ddots &\vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ b & \cdots & b & x_n & \end{pmatrix}\] où $x_1,\dots, x_n, a, b \in K$

Soit $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$, $\mathrm{B} = 1$, \[\det(A-B) \det(A+B) \leqslant \det(A)^2\]

Soit $(X_1,\dots,X_n)$ des variables aléatoires indépendantes, et identiquement distribuées.

1. Soit $\bar{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, calculer son espérance et sa variance.
2. $S_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X_n})^2$, calculer son espérance.

Calculer le déterminant de, \[\begin{pmatrix} 1 + a & a & a \\ b & 1 + b & b \\ c & c & 1 + c \\ \end{pmatrix}\]

On note $\Delta_n$ le déterminant de la matrice, \[\begin{pmatrix} 3 & 2 & & \\ 1 & 3 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 2 \\ & & 1 & 3 \end{pmatrix}_{[n]}\] Trouver une relation de récurrence vérifée par $\Delta_{n+2}, \Delta_{n+1}, \Delta_n$, et en déduire $\Delta_n$.
Généraliser dans le cas où les coefficients $1,2,3$ sont remplacés par des éléments $a,b,c$ quelconques.