Semaine 27

Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On note $f$ son endomorphisme canoniquement associé. On souhaite montrer l'équivalence suivante, \[tr(A) = 0 \Leftrightarrow A \text{ semblable à une matrice de diagonale nulle}\] Supposons que ce soit le cas pour toutes les matrices de taille $n-1$.

1. Traiter le cas où $f$ est une homothétie.
2. Supposons que $f$ n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe $u \in \mathbb{K}^n$ tel que $(u,f(u))$ est libre.
3. Choisir une base adaptée $\mathcal{B}$, où le coefficient en haut à gauche de $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ est nul.
4. Conclure.

Montrer qu'une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est semblable à $J_r$, si et seulement si $M$ est de rang $r$ et vérifie $M^2 = M$.

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de matrice \[\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}\]

1. Montrer que $f$ est une projection que l'on précisera.
2. Déterminer une base $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\] et en donner la matrice de passage.

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de matrice $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1\end{pmatrix}$. Quelle est la matrice de $f$ dans la base $(e_1', e_2', e_3')$, définie par $e_1' = e_1 + 2e_2 + e_3$, $e_2' = 2e_1 + e_2 + 4e_3$, $e_3' = -e_1 + e_2 + e_3$ ?

Soit, \[\varphi : \begin{array}{c c c} \mathbb{R}_4[X] &\to& \mathbb{R}_4[X] \\ P &\mapsto& (X^2 + 1)P' - 4XP\end{array}\]

1. Montrer que $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_4[X])$.
2. Donner la matrice de $\varphi$ realtive à la base canonique de $\mathbb{R}_4[X]$. Déterminer $\mathrm{Im}\varphi$ et $\mathrm{Ker}\varphi$.
3. Soit $P_0 = 1 + X + X^2 + X^3 + X^4$. Déterminer $Q = \varphi(P_0)$. Résoudre l'équation $\varphi(P) = Q$ dans $\mathbb{R}_4[X]$. Déterminer $\varphi^{-1}(\{Q\})$.

Soit $s$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ de matrice \[S = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}\]

1. Montrer que $s$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$.
2. Soit $e_1' = (1,1,1)$, $e_2' = (1,-1,0)$, $e_3' = (1,1,-2)$. Montrer que $\mathcal{B}' = (e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\mathbb{R}^3$. Déterminer la matrice $S'$ de $s$ dans la base $\mathcal{B}'$. Déterminer $S'^n$ puis une méthode pour le calcul de $S^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.
3. La famille de $(I_3,S)$ est-elle libre dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ? Montrer que $S^2$ peut s'exprimer comme combinaison linéaire de $S$ et $I_3$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, il existe un unique couple $(a_n,b_n)$ de réels tel que $S^n = a_nI_3 + b_S$. Donner les valeurs de $(a_0,a_1,b_0,b_1)$, puis exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$, $b_n$ pour tout entier $n$. En calculant $a_n + b_n$ et $b_n+1$, déduire $a_n$ et $b_n$.
4. Soit $B = S-2I_3$. Calculer $B^n$ pour tout entier naturel $n$. En déduire $S^n$ en fonction de $I_3$ et $B$.