Semaine 26

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 > 0$, et \[\forall\ n\in\mathbb{N},\quad u_{n+1} = \mathrm{Arctan}(u_n)\]

1. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
2. On pose, pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$, $v_n = \frac{1}{u_{n+1}^\alpha} - \frac{1}{u_n^\alpha}$. À l'aide d'un développement limité, déterminer $\alpha$ pour que la suite converge vers une limite réelle non nulle.
3. Rappeler le théorème de Césaro. En déduire un développement limité de $(u_n)$.

Soit $f : t \mapsto e^{t^2}$.

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, montrer qu'il existe un unique $a(x) \in \mathbb{R}_+$ tel que, \[\int_x^{a(x)} f(t) \mathrm{d}t = 1\]
2. Montrer que $a(x)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$.

1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $u_n \in \mathbb{R}$, \[\int_{\frac{1}{n}}^{u_n} \exp(x^2/2)\mathrm{d}x = \frac{1}{10n}\]
2. Montrer que $(u_n)$ est convergente.
3. Trouver un équivalent de $(u_n)$

Pour $k \in \mathbb{N}^*$, on pose $I_k = \int_k^{k+1}\frac{x-\frac{1}{2}-\lfloor x\rfloor}{x} \mathrm{d}x$.

1. Justifier l'existence de $I_k$.
2. Calculer $I_k$.
3. On pose $J_n = \int_1^n\frac{x-\frac{1}{2}-\lfloor x\rfloor}{x} \mathrm{d}x$. Montrer que, \[J_n = n + \left(n+ \frac{1}{2}\right)\ln(n+1) - \ln(n!)\]
4. Montrer que \[\ln n! = n\ln n - n + \ln n + \frac{1}{2}\ln 2\pi + o(1)\]
5. Montrer que $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et donner sa limite.

Soit $f$ continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}_+^*$. Soit $M$ le maximum de $f$ sur $[a,b]$.

1. Justifier l'existence de $M$.
2. Montrer que, \[\left(\int_a^bf^p\right)^{\frac{1}{p}} \xrightarrow[{p\to+\infty}]{} M\]