Semaine 25

Soit $f$ continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}_+^*$. Soit $M$ le maximum de $f$ sur $[a,b]$.

1. Justifier l'existence de $M$.
2. Montrer que, \[\left(\int_a^bf^p\right)^{\frac{1}{p}} \xrightarrow[{p\to+\infty}]{} M\]

Soit $f$ continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, telle que, \[\forall\ k\in [\![0,n]\!],\, \int_a^b f(t)t^k\mathrm{d}t = 0\] Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois sur $]a,b[$.

1. Soient $x_0\in]0,1[$, $\varepsilon > 0$. Construire une fonction $u \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}_+)$ telle que, \[u(x_0) = 1 \quad \forall\ x\notin [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon], u(x) = 0\]
2. Soit $g$ continue sur $[0,1]$, telle que, \[\forall\ u\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}_+),\ u(0) = u(1) = 0,\,\int_0^1 g(t)u(t) \mathrm{d}t = 0\] Montrer que $g = 0$.

On note, $E_{a,b} = \{f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}),\ f(0) = a,\ f(1) = b\}$. Soient $a < b$, $P \in \mathbb{R}[X]$, $J : f \in E_{a,b} \mapsto \int_0^1 P(f'(x)) \mathrm{d}x$. Soient $f_0 \in E_{a,b}, u \in E_{0,0}$. On pose $Q : t \mapsto J(f_0 + tu)$.

1. Montrer que $Q$ est polynômiale.
2. On suppose que $f_0$ minimise $J$. Montrer que $f'$ vérifie une certaine équation, faisant intervenir $P$.
3. Calculer $f_0$ dans le cas où $P = X^2$.

Pour $k \in \mathbb{N}^*$, on pose $I_k = \int_k^{k+1}\frac{x-\frac{1}{2}-\lfloor x\rfloor}{x} \mathrm{d}x$.

1. Justifier l'existence de $I_k$.
2. Calculer $I_k$.
3. On pose $J_n = \int_1^n\frac{x-\frac{1}{2}-\lfloor x\rfloor}{x} \mathrm{d}x$. Montrer que, \[J_n = n + \left(n+ \frac{1}{2}\right)\ln(n+1) - \ln(n!)\]
4. On donne, $n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}$. Montrer que \[\ln n! = n\ln n - n + \ln n + \frac{1}{2}\ln 2\pi + o(1)\]
5. Montrer que $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et donner sa limite.

On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$, $I_n = \int_0^1 \frac{t^n - t^{2n}}{1-t}\mathrm{d}t$.

1. Justifier la bonne définition de $I_n$.
2. Montrer que $I_n = S_n$.

Soit $F : x \mapsto \int_1^x \frac{\ln(t)}{1+t^2}\mathrm{d}t$.

1. Justifier que $F$ est bien définie sur $]0, +\infty[$.
2. Montrer que $F$ admet un minimum.
3. Montrer que pour tout $x \in ]0,1],\, \frac{x\ln(x) - x + 1}{2} \leqslant F(x) \leqslant x \ln(x) - x + 1$.
4. Montrer que $F$ admet une limite en $0^+$, et que cette limite appartient à $[\frac{1}{2}, 1]$.

1. Donner la définition d'une fonction continue par morceaux.
2. Montrer que la composée de deux fonctions continues par morceaux n'est pas forcément continue par morceaux.