Semaine 24

Soit $\Omega = \{1,\dots,n\}$, muni de la probabilité uniforme. Pour tout entier $p$ divisant $n$, on note $A_p$ l'événement "être divisible par p".

1. Calculer la probabilité de $A_p$.
2. Si $p_1, \dots, p_k$ sont $k$ diviseurs premiers de $n$, montrer que les $(A_{p_i})$ sont indépendants deux à deux.
3. En déduire une formule du nombre d'éléments premiers à $n$.

Deux candidats s'affrontent lors d'une élection. Le gagnant l'emporte avec $a$ voix, le perdant obtient $b$ voix. On représente le dépouillement à l'aide d'une ligne brisée joignant les points $(0,0)$ et $(a+b,a-b)$. L'ordonnée du point d'abscisse $k$ représente l'écart entre les candidats après le dépouillement du $k$ -ième bulletin.

1. Dénombrer les dépouillements possibles.
2. Montrer que le nombre de lignes brisées joignant $(1,1)$ à $(a+b,a-b)$ en passant par l'axe des abscisses est le même que celui des lignes brisées joignant $(1,-1)$ à $(a+b,a-b)$.
3. En déduire la probabilité pour que le gagnant soit en tête pendant tout le dépouillement.

Un polycopié de maths contient $n$ erreurs. À chaque relecture, la probabilité pour une faute d'être corrigée est $p$. On effectue plusieurs relectures indépendantes.

Combien faut-il au minimum de relectures pour qu'il ne reste aucune faute avec probabilité $1-\varepsilon$.

On considère $n$ menteurs $I_1, I_2, \dots, I_n$. $I_1$ reçoit une information sous la forme de "oui" ou "non", et la transmet à $I_2$, et ainsi de suite jusqu'à $I_n$. Chacun transmet ce qu'il a entendu avec une probabilité $p \in ]0,1[$. Leurs réponses sont indépendantes. Calculer la probabilité $p_n$ pour que l'information soit fidèlement transmise. Que se passe-t-il si $n \to +\infty$.

Soit $A_1, \dots, A_n$ des évènements mutuellement indépendants. Montrer que la probabilité qu'aucun des $A_k$ n'est réalisé est inférieure à \[\exp\left(-\sum_{k=1}^n \mathrm{P}(A_k)\right)\]

Un jeu consiste à lancer une pièce déséquilibrée $n$ fois, celle-ci a une probabilité $p$ de tomber sur face. On dit qu'un joueur gagne s'il n'a pas obtenu deux faces d'affilée. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?