Semaine 23

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, on construit des murs à l'aide de $n$ briques posées au sol ou sur une autre brique.
Calculer $u_n$ le nombre de tels murs.

Dans une bibliothèque, $n$ livres sont exposés sur une étagère rectiligne et répartis au hasard. Parmi ces $n$ livres, $k$ sont d'Albert Camus, les autres étant d'auteurs différents. Calculer la probabilité qu'au moins $p$ livres d'Albert Camus se retrouvent côte à côte.

1. Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit un garçon ?
2. Un autre voisin a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité que l'aîné soit un garçon ?

On cherche un parapluie qui, avec la probabilité $\frac{p}{n}$ se trouve dans l'un quelconque des $n$ étages d'un immeuble ($p \in [0,1]$ fixé). On a exploré en vain les $n-1$ premiers étages. Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au $n$ -ième étage ? Soit $f(p)$ cette probabilité ; représenter graphiquement $f$.

On considère une urne contenant $N$ boules. Parmi elles, $N_1 = pN$ sont rouges. Les autres sont bleus. On tire $n$ boules dans l'urne sans remise. Quelle est la probabilité d'avoir tiré $k$ boules rouges ?

En déduire une formule de Vandermonde.

Un jeu est organisé dans un supermarché : il y $n$ tickets dont un seul est gagnant. Chaque acheteur reçoit un ticket au hasard. Si le ticket est gagnant, l'acheteur remporte le lot et le jeu est terminé. Est-il préférable d'être le premier, le deuxième, …, le dernier ?

Soit $X$ une variable aléatoire uniforme sur $[\![1,n]\!]$ et $Y$ une variable aléatoire uniforme sur $[\![1,X]\!]$. Déterminer la loi de $Y$.

Soit $\Omega = \{1,\dots,n\}$, muni de la probabilité uniforme. Pour tout entier $p$ divisant $n$, on note $A_p$ l'événement "être divisible par p". Calculer la probabilité de $A_p$.

Deux candidats s'affrontent lors d'une élection. Le gagnant l'emporte avec $a$ voix, le perdant obtient $b$ voix. On représente le dépouillement à l'aide d'une ligne brisée joignant les points $(0,0)$ et $(a+b,a-b)$. L'ordonnée du point d'abscisse $k$ représente l'écart entre les candidats après le dépouillement du $k$ -ième bulletin.

1. Dénombrer les dépouillements possibles.
2. Montrer que le nombre de lignes brisées joignant $(1,1)$ à $(a+b,a-b)$ en passant par l'axe des abscisses est le même que celui des lignes brisées joignant $(1,-1)$ à $(a+b,a-b)$.

Un polycopié de maths contient $n$ erreurs. À chaque relecture, la probabilité pour une faute d'être corrigée est $p$. On effectue plusieurs relectures indépendantes.

Combien faut-il au minimum de relectures pour qu'il ne reste aucune faute avec probabilité $1-\varepsilon$.