Semaine 21

Soient un espace vectoriel de dimension $n \in \mathbb{N}^*$. $f : E \to \mathbb{R}$ linéaire et surjective.

1. Montrer qu'il existe $x_0 \in E$, $E = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Vect}(x_0)$.
2. Soit $\varphi \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe un scalaire $\lambda$ tel que $f \circ \varphi = \lambda f$ si et seulement si $\mathrm{Ker}(f)$ est stable par $\varphi$.

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $H$ un sous-espace vectoriel de $E$.

1. Montrer que $f(H)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
2. Montrer que $f^{-1}(f(H)) = H + \mathrm{Ker}(f)$

Montrer que l'ensemble des suites réelles vérifiant, \[\forall\ n\in\mathbb{N},\, u_{n+2} = 2u_{n+1} + 3u_n\] est isomorphe à $\mathbb{R}^2$.

Soient $E$ un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel non réduit à ${0}$ et $f\in\mathcal{L}(E)$, tel que $f^3 + f = 0$.

1. Montrer que $\mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f) = E$.
2. Montrer que $f$ est un automorphisme si et seulement si $f^2 + \mathrm{Id} = 0$.
3. On suppose désormais que $f^2 + \mathrm{Id} = 0$. Soit $x \in E$, $x \neq 0$. Montrer que $(x, f(x))$ est libre.
4. Soit $(x,y) \in E^2$. On suppose que $(x,f(x),y)$ est libre. Montrer que $(x,f(x),y,f(y))$ est libre.
5. Si $E$ est de dimension finie, que peut-on dire de sa dimension ?

Soit $E$ un espace vectoriel. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$, tel que $f^2 - f - 2 \mathrm{Id} = 0$.

1. Prouver que $f$ est bijectif et exprimer $f^{-1}$ en fonction de $f$.
2. Prouver que $E = \mathrm{Ker}(f + Id) \oplus \mathrm{Ker}(f-2\mathrm{Id})$.
3. Dans cette question, on suppose que $E$ est de dimension finie. Prouver que $\mathrm{Im}(f + \mathrm{Id}) = \mathrm{Ker}(f - 2\mathrm{Id})$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Soient $u$ et $v$ dans $\mathcal{L}(E)$.

1. On suppose que $\mathrm{Vect}(u,v)$ possède un élément inversible. Montrer que $\mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Ker}(v) = \{0\}$.
2. Montrer que la réciproque est fausse.