Semaine 20

Soit $A \subset \mathbb{R}^2$. On dit que $A$ est convexe, si et seulement si, \[\forall\ x,y \in A,\, \forall\ \lambda \in [0,1],\quad \lambda x + (1-\lambda)y \in A\] Pour une fonction $f$, on nomme épigraphe l'ensemble, \[\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, y \geqslant f(x)\}\]

1. Donner une interprétation graphique de la convexité d'une partie, et de l'épigraphe d'une fonction.
2. Montrer que si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est convexe, alors l'épigraphe de $f$ est convexe.
3. Montrer la réciproque.

Caractériser les fonctions convexes bornées.

Soit $q$ une fonction continue positive sur $\mathbb{R}$, non nulle. On désigne par $(E)$ l'équation différentielle, \[y'' - qy = f\] Soit $y$ une solution de $(E)$.

1. Montrer que $y^2$ est convexe.
2. Caractériser les solutions bornées de $E$.
3. On suppose dans cette question que $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$. Montrer que $y(x) \geqslant 1$.
4. On suppose que dans cette question que $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$. Montrer que \[\forall\ x \geqslant 0,\, y(x) \geqslant x \quad\quad \forall\ x\leqslant 0,\, y(x) \leqslant x\]

On note $f : x \mapsto x + \ln(1+x)$.

1. Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur un certain ensemble à préciser.
2. Donner le développement limité à l'ordre 3 en $0$ de la réciproque de $f$.

Déterminer trois réels, $a,b,c$ pour que la fonction, \[f : x \mapsto a \cos(x) + b \cos(2x) + c \cos(3x)\] soit un infiniment petit d'ordre aussi élevé que possible, et en donner son développement limité.

Soit $P\in\mathbb{R}[X]$. Que peut-on dire du signe de la fonction $x \mapsto P(x)$ autour d'une racine $\lambda$ en fonction de sa multiplicité ?

Soit $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite de réels deux à deux distincts, bornés par $1$. Pour tout $n \in \mathbb{N},\, x\in [-1,1]$, on pose, \[f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{|x-x_k|}{2^k}\]

1. Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} f_n(x)$ existe et est finie.
2. Montrer que $f$ est continue.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des familles $(p_i)_{i\in[\![1,n]\!]}$ de réels compris entre $0$ et $1$ tels que, \[\sum_{i=1}^n p_i = 1\]

On définit l'entropie de Shannon comme étant la fonction, \[\mathrm{H} : \left\{\begin{array}{c c c} \mathcal{P} & \to & \mathbb{R} \\ (p_i)_{i\in [\![1,n]\!]} & \mapsto & -\sum_{i=1}^n p_i \ln(p_i) \end{array}\right.\] où l'on choisit la convention $0 \ln (0) = 0$.

1. Montrer que $\mathrm{H}$ est positive. Pour quelle famille est-elle nulle ?
2. Soit $p, q \in \mathcal{P}$. On souhaite établir l'inégalité de Gibbs à l'aide d'une inégalité de concavité, à savoir que, \[\mathrm{H}(p) \leqslant \sum_{i=1}^n p_i \ln\left(q_i\right)\]
3. À l'aide de l'inégalité de Gibbs, montrer que $\mathrm{H}(p) \leqslant \ln(n)$, pour qu'elle famille est-elle atteinte ?