Semaine 2

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes,

1. $f$ est bornée sur $E$
2. $\exists\ a,b \in\mathbb{R},\, \forall\ x,y \in E,\ a \leqslant f(x) - f(y) \leqslant b$

On pose pour tous $n \in\mathbb{N},\ i\in[\![0,n]\!]$, $\displaystyle B_i^n \colon t \mapsto \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-1}$ définie sur $[0,1]$.

1. Montrer que $\displaystyle\forall\ t \in [0,1],\, \sum_{i=0}^n \frac{i}{n} B_i^n(t)$.
2. Montrer que $\displaystyle\sum_{i=0}^n B_i^n(t)$.
3. Montrer que $\displaystyle B_i^n(t) = (1-t) B_i^{n-1}(t) + t B_{i-1}^{n-1}(t)$.
4. Calculer les extremums de la fonction sur $[0,1]$.

Calculer pour $k,N\in\mathbb{N}$ et $k \leqslant N$, \[ \sum_{n=k}^N \binom{n}{k} \] Indication : On pourra penser à la formule de Pascal et à une simplification téléscopique.

Études des fonctions :

1. $\displaystyle x \mapsto \exp(-\frac{1}{x^2})$
2. $\displaystyle x \mapsto \sqrt{\ln(x)}$
3. $\displaystyle x \mapsto \ln(x^2-1)$

1. Montrer que pour tout $k \geqslant 2$, $\displaystyle \frac{1}{k^3} \leqslant \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{k} + \frac{1}{2(k+1)}$
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} \leqslant \frac{5}{4}$

Montrer sans récurrence que pour tout $\alpha > 0, n \in\mathbb{N}$, \[ (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha \]

Soit $n\in\mathbb{N}^*$

1. Montrer que pour tout $(2+\sqrt{2})^n + (2-\sqrt{2})^n$ est un entier pair.
2. Montrer que par contre $(2+\sqrt{2})^n - (2-\sqrt{2})^n$ est irrationel.
3. En déduire que $(2+\sqrt{2})^n$ et $(2-\sqrt{2})^n$ sont irrationels.

À l'oral : Peut-on remplacer 2 par n'importe quel nombre premier ?