Semaine 19

1. $\cos \circ \sin$ au voisinage de $0$, à l'ordre 5.
2. $\tan$ au voisinage de $0$ à l'ordre 5. Citer d'autres méthodes pour l'obtenir.
3. $\displaystyle\ln\left(\frac{\mathrm{sh}(\frac{1}{n})}{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}\right)$ à l'ordre 3.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ dérivables en $x_0$. On pose, \[h : x \mapsto \max\{f(x), g(x)\}\]

À quelle condition $h$ est-elle dérivable en $x_0$ ?

Soit $f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que pour tout $x \in [0,1]$, $(f(x), f'(x)) \neq (0,0)$.

Montrer que $f$ ne possède qu'un nombre fini de zéros.

Indication : On pourra utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass

Soit $n \in \mathbb{N}$, soit $f : x\mapsto (e^x-1)^n$.

1. Montrer que pour tout $k < n$, $f^{(k)}(0) = 0$, et que $f^{(n)}(0) = n!$. On pourra raisonner par récurrence sur $n$.
2. Soit $k\in\mathbb{N}$, rappeler le développement limité de $x \mapsto e^{kx}$ en $0$ à un ordre $n$ quelconque.
3. Soit $n \in \mathbb{N}$, à l'aide du binôme de Newton et de la question précédente, montrer que, \[(e^x-1)^n = \sum_{m=0}^n \frac{x^m}{m!}\binom{n}{k} \left(\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} k^m\right) + o(x^n)\]
4. Déduire des questions précédentes que, \[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} k^m = \delta_{n,m}(-1)^n n!\]

Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*, \mathbb{R})$, telle que, \[\forall\ x > 0,\, f(x+1) = x f(x) \quad \text{et} \quad f''(x) > 0\]

1. Exprimer $f(n)$ pour $n\in\mathbb{N}^*$.
2. Montrer qu'il existe $\alpha \in ]1,2[$, tel que $f'(\alpha) = 0$. En déduire les variations de $f$.
3. Montrer que $f$ est de signe constant sur $\mathbb{R}_+^*$. Déterminer son signe.
4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.