Semaine 18

Soit $f$ une fonction bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telle que, \[\forall\ x,y \in \mathbb{R},\quad |x-y| \leqslant |f(x)-f(y)|\] Montrer que $f$ est continue.

Existe-t-il une application continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telle que, \[\forall x \in \mathbb{R},\quad f\circ f = -x\]

Indication : $f$ est bijective continue, donc $f$ et $f^{-1}$ sont monotones de même sens.

Soient $f$ et $g$ deux applications continues de $[0,1]$, dans $[0,1]$, telles que $f \circ g = g \circ f$. Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe $x_0 \in [0,1]$ , $f(x_0) = g(x_0)$. Par l'absurde, on suppose que pour tout $x \in [0,1],\ f(x) \neq g(x)$. Soit $\delta = g(0) - f(0)$.

1. On suppose que $\delta > 0$,

   1. Montrer l'existence d'un réel $m > 0$, tel que \[\forall\ x\in[0,1],\quad g(x) \geqslant f(x) + m\]
   2. Montrer que pour tout $x \in [0,1],\ g\circ g(x) \geqslant f \circ f(x) + 2m$
   3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, minorer la fonction $g^{\circ n} - f^{\circ n}$ en fonction de $m$ et de $n$. En déduire une contradiction
2. Démontrer le résultat annoncé.

Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On suppose que, \[\lim_{x\to 0}\frac{f(2x) - f(x)}{x} = 0\] La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Soit $x_0 \in ]0,1[$, $\varepsilon > 0$. Construire une fonction $u \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}_+)$, telle que, \[\begin{cases} u(x_0) = 1 \\ \forall x\notin [x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon], u(x) = 0 \end{cases}\]

On note \[\varphi : \left\{\begin{array}{c c c} \mathbb{R}_+^* & \to & \mathbb{R} \\ x &\mapsto & \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) \end{array}\right.\] Montrer que $\varphi$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}_+$, et que ce prolongement est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+$.

Indication : On peut montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $\varphi^{(n)}(x) = P_n\left(\frac{1}{x}\right)\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ .

Soit $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant 2$, $(a,b) \in \mathbb{R}^2$. On note $f : x \mapsto x^n + ax + b$. Montrer que $f$ possède au plus trois zéros sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fontion dérivable de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$, bornée sur $\mathbb{R}_+$, telle que $f(0) = 0$. Montrer qu'il existe $C > 0$ tel que, \[\forall\ x\in\mathbb{R}_+,\quad\quad |f(x)| \leqslant Cx\]

On note $f$ la fonction, \[x \mapsto x\sqrt{\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor}\]

1. Montrer que pour $x \in \mathbb{R}^*,\, |f(x)| \leqslant |x|$.
2. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$. On notera encore $f$ son prolongement.
3. La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ?
4. En quels points de $\mathbb{R}_+$ l'application $f$ est-elle continue ?