Semaine 17

Soit $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$, croissante. On suppose que, \[x \mapsto \frac{f(x)}{x}\] est décroissante.
Montrer que $f$ est continue.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, continue.

1. On suppose que $\cos \circ f$ est constante. La fonction $f$ est-elle constante ?
2. On suppose que $\sin \circ f$ admet une limite réelle en $+\infty$. La fonction $f$ admet-elle une limite réelle en $+\infty$.

Déterminer les $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$, \[\forall\ x\in\mathbb{R},\quad f(x) = f(\sin x)\]

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue, telle que, \[\begin{cases} f(\sqrt{2}x) = 2 f(x) \\ f(x+1) = f(x) + 2x + 1 \end{cases}\]

Soit $f$ une fonction continue, telle que, \[\forall\ x,y\in \mathbb{R},\quad f(\sqrt{x^2+y^2} = f(x)f(y)\]

Soit $E$ un espace vectoriel, $F$, $G$, $H$, trois sous-espaces vectoriels de $E$.
A-t-on $F \cap (G+H) = (F\cap G) + (F\cap H)$ ?

Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. On pose, \[\forall\ x \in \mathbb{R},\quad d(x,A) = \inf\{|x-a|, a\in A\}\] Montrer que $x \mapsto d(x,A)$ est lipschitzienne, donc continue.

On dit qu'une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ si et seulement si, \[\forall\ x\in A,\ \exists\ \rho > 0, \forall y \in ]x-\rho, x+\rho[,\ y \in A\] Montrer que l'image réciproque de tout ouvert de $\mathbb{R}$ par une fonction continue est un ouvert de $\mathbb{R}$.

On dit qu'une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un fermé de $\mathbb{R}$ si et seulement si, pour toute suite convergente $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de limite $x \in \mathbb{R}$, on a $x \in A$.
Montrer que l'image réciproque de tout fermé de $\mathbb{R}$ par une fonction continue est un fermé de $\mathbb{R}$.

Soit $I$ un intervalle. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$, un polynôme scindé sur $\mathbb{R}$. Soit $f$ une fonction continue de $I$ dans $\mathbb{R}$, telle que $P(f) = 0$. Montrer que $f$ est constante.