Semaine 16

On pose $B_{n,k} = X^k(1-X)^{n-k}$, pour $0 \leqslant k \leqslant n$. Montrer que $(B_{n,k})_{0\leqslant k \leqslant n}$ est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$.

On admet dans cet exercice que la trace de toute matrice nilpotente est nulle.

1. L'ensemble des matrices nilpotentes est-il un sous-espace vectoriel ?
2. Exprimer $E_{ij}E_{kl}$ à l'aide d'une matrice élémentaire et du symbole de Kronecker.
3. Calculer $E_{ij}^2$, pour $i \neq j$.
4. Calculer le carré de $E_{11} - E_{ii} - E_{1i} + E_{i1}$, pour $i \neq 1$.
5. Montrer que l'espace engendré par les matrices nilpotentes est celui des matrices de trace nulle.

Quel est la dimension de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ ?

Soit $(a_0,\dots, a_{p-1}) \in \mathbb{C}^{p}$, trouver la dimension de l'espace des suites complexes $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, telles que, \[\forall\ n\in\mathbb{N}, \quad u_{n+p} = \sum_{k=0}^{p-1} a_ku_{n+k}\]

Calculer la dimension de $F$ l'ensemble des suites de $\mathbb{C}$ telles que, \[\forall\ n\in\mathbb{N},\quad n(n-1)(n-2) u_n = n(n-2) u_{n+1}\]

Calculer la dimension l'ensemble des matrices $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, vu comme un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel, telles que, \[\overline{M}^T = M\]

Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$, $n \in \mathbb{N}^*$, $(b_0, \dots, b_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ avec $b_0 < b_1 < \dots < b_n$.
Montrer qu'il existe $(a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tels que, \[\forall\ P\in\mathbb{R}_{n}[X],\quad \int_0^1 f(t) P(t) \mathrm{d}t = \sum_{k=0}^n a_k P(a_k)\]