Semaine 15

Factoriser $X^{2n} + 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Soit $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n \in \mathbb{C}[X]$, $a_n \neq 0$. On note $x_1, \dots, x_n$ les racines de $P$, comptées avec multiplicités.

1. Calculer $x_1^2 + \dots + x_n^2$, en fonctions des $a_i$.
2. Si $a_0 \neq 0$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k^2}$.

Montrer que les racines du polynôme complexe : \[X^n - \sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i\] sont de module majoré par, \[\max\left\{1, \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\right\}\]

La suite des polynômes de Hilbert est définie par : \[H_0=1 \quad\quad \forall\ n\in\mathbb{N},\quad H_n = \frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1}(X-k)\]

1. Pour $n \in \mathbb{N}$, $j \in \mathbb{Z}$, calculer $H_n(j)$. On utilisera des coefficients binomiaux, et on distinguera $3$ cas.
2. Montrer que les $\{H_n, n\in\mathbb{N}\}$ engendrent $\mathbb{R}[X]$.
3. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que $P(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z}$, si et seulement si $P$ est combinaison linéaire à coefficients dans $\mathbb{Z}$ des $H_n,\, n\in \mathbb{N}$

Soient $r \in \mathbb{R}$, $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que : \[\forall\ k\in [\![1,n]\!],\quad P(k) = r^k\] Calculer $P(n+1)$.

Soit $P$ un polynôme tel que, \[P(X^2) = P(X-1)P(X+1)\]

1. Montrer que si $z$ est racine de $P$, il existe une racine de $P$ de module strictement supérieur à $|z|$.
2. En déduire les polynômes $P$ vérifiant cette relation.

1. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \geqslant 1$. On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$, tel que $P(k), P(k+1), \dots, P(k+n)$ soient dans $\mathbb{Z}$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{Z},\ P(x) \in \mathbb{Z}$.
2. Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ de degré $n \geqslant 1$. On note $N$ le pgcd $P(0), P(1), \dots, P(n)$. Montrer que $N$ divise $P(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$.
3. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ tel que $P(0), P(1), P(4), \dots, P(n^2)$ soient dans $\mathbb{Z}$. Montrer que pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $P(a^2) \in \mathbb{Z}$.

Indication : $\forall\ x \in \mathbb{Z},\ L_i (x) \in \mathbb{Z}$ (le produit de $k$ entiers consécutifs est divisible par $k!$.

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $P$ induise une surjection de $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{Q}$.

Questions intermédiaires :

1. Considérer tout d'abord la condition $P(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$. Qu'en déduit-on sur $P$ ?
2. Montrer que les polynômes de degré $1$ à coefficients rationnels conviennent.
3. Considérons $P \in \mathbb{Z}[X]$ surjectif de $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{Q}$, soit $m$ un nombre premier tel que et $\frac{p}{q}$ un antécédant par $P$, en calculant $q^n P\left(\frac{p}{q}\right)$, montrer que $m$ divise $q^n$, puis $q$.
4. Montrer que $m$ divise $a_n p^n$ et en déduire une contradiction.