Semaine 14

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $n \geqslant 1$. Montrer que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$, si et seulement si, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $|P(z)| \geqslant |\mathrm{Im}(z)|^n$.

Soit $P = (X+1)^7 - X^7 - 1$. Montrer que $j$ est racine de $P$. Déterminer sa multiplicité.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $P = \frac{x^n(1-x)^n}{n!}$.

1. Donner la forme développée de $P$.
2. Montrer que les dérivées $P^{(k)}(0)$, $P^{(k)}(1)$ sont entières pour tout $k\geqslant 0$.
3. Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$, $0 < P(x) < \frac{1}{4^nn!}$.

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $n \in \mathbb{N}$ pour que $(X^2+X+1)$ divise $X^{2n} + X^n + 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Montrer que $X^5 - X^2 + 1$ possède une unique racine réelle, et que celle-ci est irrationnelle.

Trouver tous les polynômes $P$ tels que $P'$ divise $P$.

1. Rappeler les sous-groupes finis de $\mathbb{C}$.
2. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$, tel que $\forall\ a,b \in \mathbb{C}^*,\ P(a) = P(b) = 0$, alors $P(ab) = 0$. Que dire sur $P$ ?

Soient $a, b, c \in [0,1]$. Montrer qu'il existe $\alpha, \beta, \gamma$, tels que, \[ \forall\ P \in \mathbb{R}_2[X],\quad \int_0^1 P(x) \mathrm{d}x = \alpha P(a) + \beta P(b) + \gamma P(c) \] et les calculer.