Semaine 13

Soit $G$ un groupe d'éléments neutre $e$, $a$ et $b$ deux éléments de $G$. Montrer l'équivalence, \[\exists n \geqslant 1,\ (ab)^n = e \Leftrightarrow \exists n \geqslant 1,\ (ba)^n = e\]

On définit $f$ par \[f \colon \begin{cases} G \to G \\ x \mapsto x^2\end{cases}\] Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit un morphisme de groupes.

1. Quel est le centre de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ ?
2. Montrer que c'est un groupe commutatif est isomorphe à $\mathbb{K}$.

Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On considère dans $\mathbb{Z}$ la relation $\mathcal{R}$ suivante, \[ x\mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists\ k \in \mathbb{Z},\, x - y = kp \]

1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
2. On note $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation $\mathcal{R}$. Quelle est classe de $0$ ? de $p$ ? de $k$ ?
3. On définit deux lois internes pour $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, en notant $\overline{x}$ la classe d'équivalence de $x$. $\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}$, $\overline{a} \times \overline{b} = \overline{ab}$. Montrer que les deux lois sont bien définies, autrement dit que pour $x \mathcal{R} y$ et $x' \mathcal{R} y'$, $\overline{x}+\overline{y} = \overline{x'}+\overline{y'}$ et $\overline{x}\times\overline{y} = \overline{x'}\times\overline{y'}$.
4. Montrer que $\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times\right)$ est un anneau.
5. Rappeler le théorème de Bezout.
6. Montrer que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si, $p$ est premier.

Soit $G$ des matrices de la forme, \[ M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -x^2 & 1 & x \\ -2x & 0 & 1 \end{pmatrix} \] où $x \in \mathbb{R}$.

1. Montrer que $G$ est un groupe pour la multiplication.
2. Montrer que $G$ est isomorphe à $\left(\mathbb{R},+\right)$.
3. Que se passe-t-il quand on choisit maintenant $x \in \mathbb{Z}$ ?
4. En déduire les sous-groupes de $G$ dans ce cas.

Soit $A$ un anneau commutatif. Pour $a$ et $b$ dans $A$, on dit que $b$ divise $a$, si et seulement si il existe $c \in A$, $a = bc$.

1. Montrer que $c$ est unique si $a \neq 0$ et $b$ intègre.
2. Montrer que si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, alors $a = bu$, avec $u$ un élément inversible de $A$.

Soit $\pi \in A$. On dit que $\pi$ est irréductible si, pour tout $a,b \in A$, tels que $\pi = ab$, on a $a$ ou $b$ inversible. On dit que $\pi$ est premier si, pour tout $a,b \in A$, \[\pi | ab \Rightarrow \pi | a \text{ ou } \pi | b\]

1. Montrer qu'un élément premier est irréductible.

On introduit maintenant un anneau particulier pour établir un contre-exemple à la réciproque. Soit \[\mathbb{Z}[i\sqrt{3}] = \{a + i\sqrt{3},\, a,b \in \mathbb{Z}\}\]

1. Montrer que $\mathbb{Z}[i\sqrt{3}]$ est un anneau.
2. Montrer que $2$ ne divise pas $1 \pm i\sqrt{3}$.
3. Calculer $(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})$, conclure quant à la primalité de $2$.

On note $a\mathbb{Z}$ l'ensemble $\{ak,\ k\in\mathbb{Z}\}$

1. Montrer que $(a\mathbb{Z},+)$ est un groupe, stable par multiplication. À quelle condition est-ce un anneau ?
2. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $\forall x \in a\mathbb{Z}$, $kx \in a\mathbb{Z}$.
3. Calculer $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$.

Soit $f$ un morphisme d'anneaux de $\mathbb{R}$, dans $\mathbb{R}$.

1. Rappeler les propriétés vérifiées par $f$.
2. Montrer que pour tout $x$ positif, $f(x)$ est positif.
3. Montrer que $f$ est croissante.
4. Montrer que $f$ est l'identitée sur les entiers.
5. Montrer que $f$ est l'identitée sur les rationnels.
6. Montrer que $f$ est l'identitée.
7. Donner deux morphismes d'anneaux sur $\mathbb{C}$.

Soit $K$ un corps fini d'éléments $x_1,\dots,x_n$. On souhaite montrer le théorème suivant, \[\prod_{i=1}^n x_i = -1\]

1. Rappeler la définition d'un corps.
2. Soit $\mathcal{R}$ la relation suivante, $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x = y^{-1}$. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence.
3. Soit $x\in K$, calculer la taille de la classe d'équivalence de $x$ pour $\mathcal{R}$.
4. En regroupant le produit par classe d'équivalence, montrer le théorème.