Semaine 12

Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$, montrer que : \[A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{det}(A) = \pm 1\]

Indication : On pourra se servir du fait que $\mathrm{det}(A)\mathrm{det}(B) = \mathrm{det}(AB)$, et l'appliquer à $A$ et $A^{-1}$.

On pose pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $N(A) = \sqrt{\mathrm{tr}(A^TA)}$.

1. Montrer que $N$ est bien définie (à savoir que $\mathrm{tr}(A^TA)$ est positive).
2. Montrer que $N(A) = 0 \Leftrightarrow A = 0$.
3. Montrer que $N(A + B) \leqslant N(A) + N(B)$.

Une matrice nilpotente est-elle inversible ?

Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Soit $\omega = \exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right)$. \[A = \left(\omega^{(k-1)(l-1)}\right)_{1\leqslant k, l \leqslant n}\]

1. Calculer $A\overline{A}$.
2. Qu'en déduire sur $A$ ?

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que pour tout $X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, \[\mathrm{tr}(AX) = \mathrm{tr}(BX)\] Montrer que $A = B$.

On note $A$ la matrice \[\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\1&1\end{pmatrix}\]

1. Existe-t-il une matrice $B\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ telle que $AB = I_3$. Si oui la ou lesquelles ?
2. Existe-t-il une matrice $C\in\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ telle que $CA = I_2$. Si oui la ou lesquelles ?

1. Montrer que $I_n + E_{ij}$ est inversible, pour tous $i,j \in [\![1,n]\!]$.
2. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on suppose que pour tout $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, $MA = AM$. Montrer que $M = \lambda I_n$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$.