Semaine 11

Soit $p$ un nombre premier, montrer que $p$ divise \[\sum_{k=1}^{p-1} k^{p-1}+1\]

1. Montrer que $n^2+1$ est premier avec $3$.
2. Montrer que $n^2+2$ est premier avec $5$ et $7$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $E_n = \{m \in \mathbb{N}^*,\ m\wedge n = 1\}$, l'ensemble des nombres premiers à $n$. On pose alors, \[\varphi(n) \colon \begin{cases} \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \\ n \mapsto \mathrm{Card}(E_n) \end{cases}\]

1. Calculer $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(8)$.
2. Calculer $\varphi(p)$ pour un nombre premier $p$. En déduire une caractérisation des nombres premiers à l'aide de $\varphi$.
3. Calculer $\varphi(p^k)$ pour tout nombre premier $p$.

On admet que si $m \wedge n = 1$, $\varphi(mn) = \varphi(n)\varphi(m)$, on dit $\varphi$ est multiplicative.

1. Montrer que si $\displaystyle n = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}$, \[ \varphi(n) = \prod_{i=1}^n \left(p^{\alpha_i-1}-1\right) \]

Soit $M = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Soit $u_n$ la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 1$, et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+2}$ comme étant le premier coefficient de la matrice colonne issue du produit : \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}\]

Calculer $u_{n+2}$.

Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$.

1. Soit $r$ un rationnel, montrer que $r$ s'écrit d'une unique manière sous la forme $p^k\frac{a}{b}$, où $a\wedge b = 1$, $p$ ne divisant ni $a$, ni $b$.

On définit \[w_p \begin{cases} \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\} \\ q = \frac{p^ka}{b} \mapsto k \end{cases}\]

1. Montrer que $w(xy) = w(x)w(y)$.
2. Montrer que $w(x+y) \geqslant \min(w(x),w(y))$.

Soit $m$, $n$ et $q$ trois entiers.

• Montrer que si $m$ divise $n$, alors $q^m-1$ divise $q^n-1$.

Réciproquement, supposons que $q^m-1$ divise $q^n-1$. On applique la division euclidienne de $n$ par $m$, $m = nq + r$.

1. Montrer que $p^m-1$ divise $p^r-1$.
2. Conclure.

Trouver le chiffre des unités de \[23^{23^{23^{23}}}\]