Semaine 10

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ telles que pour tous $x,y \in \mathbb{N}^*$, \[ 2f(x) + y | f(y) + 2x \]

Montrer que $m \equiv 0 [a\wedge b]$, où $m$ est un multiplie de $a+b$.

Soit $q \geqslant 2$, $d, m \in \mathbb{N}^*$, montrer que si $d$ divise $m$, alors $q^d-1$ divise $q^m - 1$.

Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer le nombre couples d'entiers $(a,b) \in \mathbb{N}^2$, tels que \[ 2a + 3b = n \]

Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$. Montrer que $f$ est injective si et seulement si, pour tout parties $A$, $B$ de $X$, $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.

On définit l'ensemble de Cantor de la manière suivante : \[\begin{cases} \mathcal{A}_0 = [0,1] \\ \forall\ n\in\mathbb{N},\quad \mathcal{A}_{n+1} = \frac{\mathcal{A}_n}{3} + \frac{2 + \mathcal{A}_n}{3} \\ K_3 = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \mathcal{A}_n \end{cases}\]

1. Construire une bijection de $\{0,1\}^\mathbb{N}$ dans $K_3$.
2. En déduire une bijection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dans $K_3$.
3. Trouver deux bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $f$ et $g$, telles que $K_3 = f(K_3) \sqcup g(K_3)$.

1. Construire une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}^*$.
2. Construire une bijection de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$.
3. Construire une bijection de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$.
4. Peut-on construire une bijection continue de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ ?

Montrer que $13$ divise $2^{70} + 3^{70}$.

Trouver tous les entiers $n$ tels que $n+1$ divise $n^2+1$.