Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n} \] Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.
Soit $(H_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie, pour tout
$n\in\mathbb{N}$, par
\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
Montrer qu'aucun terme de $(H_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est un entier.
Indication : On pourra montrer par récurrence que pour tout
$n\in\mathbb{N}, H_n$ est le quotient d'un entier impair et d'un entier
pair.
Calculer pour $n\in\mathbb{N}^*$ : \[ \sum_{k=0}^n k\ k! \]
Soit $n\in\mathbb{N}^*$, $x_1,\dots,x_n$, $y_1,\dots,y_n$ des réels, On veut montrer que, \[ \left|\sum_{k=1}^n x_k y_k \right| \leqslant \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2} \]
Montrer que, \[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} (x_i y_j - x_j y_i)^2 = 2 \sum_{k=1}^n x_k^2 \sum_{k=1}^n y_k^2 - 2 \left(\sum_{k=1}^n x_k y_k\right)^2 \] Conclure.
Montrer que tout nombre complexe $z$ s'écrit d'une unique manière sous la forme,
\[
z = \alpha\frac{1+i}{\sqrt{2}} + \beta\frac{1-i}{\sqrt{2}}
\]
où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
En donner une explication géométrique.
On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par, \[ \left\{ \begin{matrix} u_0 = 0 \quad\quad u_1 = 1 \\ \forall\ n\in\mathbb{N},\quad u_{n+2} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\ u_{n+1} + i u_n\end{matrix} \right. \]
Indication : On pourra remarquer que pour une racine $\alpha$ de $P$, $\alpha^2 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\alpha + i$
Montrer que, \[ \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \leqslant \sqrt{xy} \leqslant \frac{x+y}{2} \leqslant \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \]
Calculer,