Semaine 8

Soit \(a,b,c,d \in \mathbb{C}\) distincts,

1. Montrer que l'application,\[f : z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}\] définit une bijection de \(\mathbb{C}\backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\}\) dans \(\mathbb{C}\backslash\left\{\frac{a}{c}\right\}\)
2. Montrer que \(f\) possède deux points fixes.
3. Montrer que \(f\) est déterminée par l'image de trois de ses points, autrement dit que si on donne \(f(x_1) = y_1\), \(f(x_2) = y_2\), \(f(x_3) = y_3\), on détermine entièrement les coefficients \(a,b,c,d\).

On souhaite montrer que, \[ \alpha \colon = \frac{1}{\pi} \mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{3}\right) \]

1. Calculer \(\exp(i\alpha\pi)\).
2. Montrer que \(\alpha\) est rationnel si et seulement si il existe \(n\in\mathbb{N}^*\) tel que \((1+2i\sqrt{2})^n = 3^n\).
3. Montrer que \((1+2i\sqrt{2})^n = a_n + ib_n\sqrt{2}\) où \(a_n\) et \(b_n\) sont des entiers tels que \(a_n - b_n \not\equiv 0\ (\textrm{mod}\ 3)\).
4. Conclure.

Soient \(a,b,c\) des nombres complexes distincts. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes.

• \(a,b,c\) forment un triangle équilatéral,
• \(1/(b-a) + 1/(c-b) + 1/(a-c) = 0\).