Semaine 7

Montrer que tout nombre complexe \(z\) s'écrit d'une unique manière sous la forme, \[ z = \alpha\frac{1+i}{\sqrt{2}} + \beta\frac{1-i}{\sqrt{2}} \] où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels.
En donner une explication géométrique.

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par, \[ \left\{ \begin{matrix} u_0 = 0 \quad\quad u_1 = 1 \\ \forall\ n\in\mathbb{N},\quad u_{n+2} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\ u_{n+1} + i u_n\end{matrix} \right. \]

1. Calculer les racines du polynôme \(P(x) = x^2 - \frac{1+i}{\sqrt{2}}\ x - i\). On les notera \(a\) et \(b\).
2. Déterminer deux nombres complexes \(\lambda\) et \(\mu\) tels que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n = \lambda a^n + \mu b^n\).

Indication : On pourra remarquer que pour une racine \(\alpha\) de \(P\), \(\alpha^2 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\alpha + i\)

Soient \(n\in\mathbb{N}^*\), \(\displaystyle z = \mathrm{e}^{\frac{2i\pi}{n}}\).

1. Soit \(k\in[\![1,n-1]\!]\), donner le module et un argument de \(z^k - 1\).
2. Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} |z^k-1| = 2 \mathrm{cotan}\left(\frac{\pi}{2n}\right)\), où \(\mathrm{cotan}\) est la fonction \(\displaystyle x \mapsto \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\).

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation, \[ (z + i)^n = (z-i)^n \]

On pose \(\omega = \exp\left(\frac{2i\pi}{5}\right)\).

1. Trouver un polynôme du second degré dont les racines \(\omega + \omega^4\), et \(\omega^2 + \omega^3\).
2. En déduire \(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\), puis \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\).

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrez que les solutions de \(1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1} = nz^n\), sont de module inférieur ou égal à \(1\). Possède-t-elle des solutions de module 1.

Trouver les points \(z\in\mathbb{C}\) tels que les points d'affixe \(z\), \(z^2\) et \(z^4\) sont alignés.