Semaine 6

\[\begin{cases}u_0 = u_1 = 1 \\ \forall\ n \in \mathbb{N},\quad u_{n+2} = \ln(1+u_n) + \ln(1+u_{n+1})\end{cases}\]

1. On suppose que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge. Que peut-on dire de sa limite ?
2. Montrer que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est bornée.
3. On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(a_n = \sup\{u_k,\ k \geqslant n\}\) et \(b_n = \inf\{u_k,\ k \geqslant n\}\). Justifier l'existence de ces deux suites. Montrer que \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) convergent.
4. En déduire que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge.

Soit \(a\) un réel positif. On définit par récurrence la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \[\begin{cases}u_{n+1} = \frac{u_n + \frac{a}{u_n}}{2} \\ u_0 > 0\end{cases}\]

1. Justifier la bonne définition de cette suite
2. Montrer que \(u_n^2-a \geqslant 0\), pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\)
3. Montrer que \(u_n\) est monotone.
4. En déduire que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge, et exprimer sa limite.

Donner un exemple de suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) divergente telle que, \[ \forall k \in \mathbb{N}, (u_{kn})_{n\in\mathbb{N}} \text{ converge} \]

Étudier la suite suivante, \[\begin{cases}u_{n+1} = \frac{1-u_n^2}{1+u_n^2} \\ u_0 \in \mathbb{R}\end{cases}\]

Étudier la convergence de la suite définie par \[u_{n+1} = u_n + u_n^2\] en fonction de son premier terme \(u_0\in\mathbb{R}\)

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), la suite définie par \[\begin{cases}u_{n+1} = u_n\frac{1+u_n}{2+u_n} \\ u_0 \in \mathbb{R}_+^*\end{cases}\] Montrer que \(u_n \to 0\).

Soit \(u_0 > 0\), on définit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) par \[u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}\]

1. Montrer que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est bien définie
2. Calculer la limite de \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)

On définit par récurrence les suites \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((q_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \[\begin{cases}p_{n+1} = p_n + 2q_n & q_{n+1} = p_n + q_n,\quad\quad \forall\ n\in\mathbb{N} \\ p_0 = 1 & q_0 = 1\end{cases}\] Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{p_n}{q_n} = \sqrt{2}\)

Soit \(p\) un réel strictement positif. On définit par récurrence la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \[\begin{cases}u_{n+1} = \sqrt{p + u_n} \\ u_0 = p\end{cases}\] Montrer que \(\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{1 + \sqrt{4p+1}}{2}\).

On considère dans cet exercice les suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) telles que pour tout \(n\in\mathbb{N}, u_n \neq u_{n-1}\).
On dit qu'une suite \textit{converge lentement}, si elle converge et si ils existent \(N \in \mathbb{N}\) et \(p > 0\), tels que : \[ \forall\ n\geqslant N, \quad \left|\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right| \geqslant p \]

1. Soit \(q \in \mathbb{C}^*\), tel que \(|q|<1\). Montrer que toute suite géométrique de raison \(q\) converge lentement.
2. Montrer que la suite \(u_n = \frac{1}{n!}\) ne converge pas lentement.
3. Montrer que si une suite converge lentement alors, \(p \in ]0,1[\).