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Semaine 5

Exercice 1 (X - ESPCI - PC)

Soit \(\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^n \cos\left(\frac{2k+1}{2n+1} \pi\right)\). Calculer \(\displaystyle \lim_{N\to + \infty} \sum_{n=0}^{N} S_n\).
Indication : Factoriser \(S_n\).

Exercice 2 (X - MP)

Montrer que pour tout \(x \in ]0,2\pi[\), en admettant que la quantité est bien définie, \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi - x}{2} \] Énoncé plus détaillé :
On note pour tout \(\displaystyle N\in\mathbb{N}^*, f_N : x \mapsto \sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{n}\).

  1. Calculer et simplifier \(f_N'(x)\), pour tous \(x\in ]0,2\pi[, N\in\mathbb{N}^*\).
  2. En déduire une expression de \(f_N(x)\).
  3. Conclure.

On pourra admettre la bonne définition de \(I_N = \int_x^\pi \frac{\sin(t)\sin(Nt)}{2(1-\cos(t))}\mathrm{d}t\), et que cette quantité tend vers \(0\) quand \(N\) tend vers \(+\infty\) (Lemme de Riemann-Lebesgue)

Exercice 3

  1. Rappeler la formule de \(\tan(a-b)\).
  2. Calculer

\[ \lim_{N\to+\infty} \sum_{n=0}^N \mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{n^2 + 3n + 3}\right) \]