Semaine 4

Soit \(f \colon E \to \mathbb{R}\). Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes,

1. \(f\) est bornée sur \(E\)
2. \(\exists\ a,b \in\mathbb{R},\, \forall\ x,y \in E,\ a \leqslant f(x) - f(y) \leqslant b\)

Études des fonctions :

1. \(\displaystyle x \mapsto \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)\)
2. \(\displaystyle x \mapsto \sqrt{\ln(x)}\)
3. \(\displaystyle x \mapsto \ln(x^2-1)\)

Montrer sans récurrence que pour tout \(\alpha > 0, n \in\mathbb{N}\), \[ (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha \]

Soit \(f \colon [0,1] \to [0,1]\), continue. Montrer que \(f\) admet un point fixe. Que dire si \(f\) est strictement décroissante ?

Montrer que, \[ \forall\ x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \frac{2x}{\pi} \leqslant \sin x \leqslant x \]

1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin(2x))}{\sin(x)}\)
2. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\cos^n(x) - 1}{\cos(x) - 1}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)^{(\ln x)}}{x}\)

Soit \(\displaystyle f \colon x \mapsto \sin\left(\frac{\pi}{2}\mathrm{th}(x)\right)\)

Montrer que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur une partie de \(\mathbb{R}\) à préciser.

Montrer que \[\forall\ x \in ]0,1[,\ (1-x)^{\frac{1-x}{x}} \geqslant \frac{1}{e}\]

Calculer pour \((a,b) \in \mathbb{R},\ n\in\mathbb{N}\), \[ \sum_{k=0}^n \mathrm{ch}(ak + b) \]