Semaine 30

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a_0,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\), pour que, \[(P,Q) \mapsto \sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k)\] soit un produit scalaire.
2. Cette condition étant réalisée, donner une base orthonormée de \(\mathbb{R}_n[X]\) pour ce produit scalaire.
3. Soit \(H\) l'ensemble des \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), tels que, \[\sum_{k=0}^n P(a_k) = 0\] Déterminer \(H^{\perp}\).

Soit \(E\) l'ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbb{R}\). On pose, pour \(f,g \in E\), \[\langle f, g\rangle = \int_0^1 f(t)g(t) t^2 \mathrm{d}t\]

1. Montrer que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire.
2. Calculer \(\int_0^1 t^n \ln t \mathrm{d}t\).
3. Soit \(F = \{x \mapsto ax + b\ |\ a,b \in \mathbb{R}\}\). Soit \(u \in E\) définie par \(\forall x\in ]0,1],\ u(x) = x\ln x\). Déterminer le projeté orthogonal de \(u\) sur \(F\).
4. Calculer \(\inf_{a,b \in \mathbb{R}} \int_0^1 (at + b - t \ln t)^2 t^2 \mathrm{d}t\).

Soit \(E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\). On considère \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) à valeurs dans \([0,1]\). On pose \[(f|g) = \sum_{k\geqslant 1} f(a_k)g(a_k)\]

1. Justifier la bonne définition.
2. Montrer que \((\cdot | \cdot)\) est un produit scalaire, si \((a_n)\) est dense dans \([0,1]\).

Prouver que l'ensemble \[\left\{\int_a^b f(t) \mathrm{d}t \times \int_a^b \frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t, f \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R}_+^*)\right\}\] admet une borne inférieure \(m\) et que celle-ci est atteinte.

Soit \(E\) un espace euclidien, \(a,b \in E\) non nuls et orthogonaux. On note \(f \in \mathcal{L}(E)\) définie par, \[\forall x \in E,\, f(x) = (b|x) a + (a|x) b\]

1. Montrer que \(\mathrm{Ker}\ f\) et \(\mathrm{Im}\ f\) sont supplémentaires orthogonaux.
2. Donner la matrice de \(f\) dans une base orthonormée bien choisie.

Déterminer les polynômes \(P\) tels que \(\int_{-1}^1 P^2\) soit minimale.

Soit \(E\) un espace vectoriel, muni d'une norme \(\|\cdot\|\) vérifiant, \[ \forall (x,y) \in E^2,\quad \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2+\|y\|^2). \] Montrer que \(\|\cdot\|\) est euclidienne.

Soit \(p\) un projecteur. Montrer qu'il est orthogonal si et seulement si, \[ \forall x \in E,\quad \|p(x)\| \leq \|x\|. \]

Condition nécessaire et suffisante sur \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) pour que, \[ (X,Y) \mapsto X^TMY \] soit un produit scalaire.