Semaine 29

Soit \(K\) un corps, \(A, H \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\mathrm{rg}(A) = 1\).

1. Montrer que \(t \mapsto \mathrm{det}(A+tH)\) est affine.
2. Calculer le déterminant de la matrice, \[\begin{pmatrix} x_1 & a & \cdots & a \\ b & x_2 & \ddots &\vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ b & \cdots & b & x_n & \end{pmatrix}\] où \(x_1,\dots, x_n, a, b \in K\)

Soit \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\), \(\mathrm{rg}(B) = 1\), \[\det(A-B) \det(A+B) \leqslant \det(A)^2\]

Calculer le déterminant de, \[\begin{pmatrix} 1 + a & a & a \\ b & 1 + b & b \\ c & c & 1 + c \\ \end{pmatrix}\]

On note \(\Delta_n\) le déterminant de la matrice, \[\begin{pmatrix} 3 & 2 & & \\ 1 & 3 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 2 \\ & & 1 & 3 \end{pmatrix}_{[n]}\] Trouver une relation de récurrence vérifée par \(\Delta_{n+2}, \Delta_{n+1}, \Delta_n\), et en déduire \(\Delta_n\).
Généraliser dans le cas où les coefficients \(1,2,3\) sont remplacés par des éléments \(a,b,c\) quelconques.

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice, \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & \\ 1 & 0 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & 0 & 1 \\ & & & 1 & 1 \end{pmatrix}_{[n]} \]

Soit \(P = (X-\lambda_1)\dots(X-\lambda_n) \in \mathbb{Z}[X]\), pour certains \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{C}\).
Montrer que pour tout \(q \in \mathbb{N}^*\), \[ (X-\lambda_1^q) \dots (X-\lambda_n^q) \] est lui aussi à coefficients entiers.