Semaine 28

Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On note \(f\) son endomorphisme canoniquement associé. On souhaite montrer l'équivalence suivante, \[tr(A) = 0 \Leftrightarrow A \text{ semblable à une matrice de diagonale nulle}\] Supposons que ce soit le cas pour toutes les matrices de taille \(n-1\).

1. Traiter le cas où \(f\) est une homothétie.
2. Supposons que \(f\) n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe \(u \in \mathbb{K}^n\) tel que \((u,f(u))\) est libre.
3. Choisir une base adaptée \(\mathcal{B}\), où le coefficient en haut à gauche de \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\) est nul.
4. Conclure.

Montrer qu'une matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est semblable à \(J_r\), si et seulement si \(M\) est de rang \(r\) et vérifie \(M^2 = M\).

Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \[\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}\]

1. Montrer que \(f\) est une projection que l'on précisera.
2. Déterminer une base \(\mathcal{B}\) de \(\mathbb{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\] et en donner la matrice de passage.

Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1\end{pmatrix}\). Quelle est la matrice de \(f\) dans la base \((e_1', e_2', e_3')\), définie par \(e_1' = e_1 + 2e_2 + e_3\), \(e_2' = 2e_1 + e_2 + 4e_3\), \(e_3' = -e_1 + e_2 + e_3\) ?

Soit, \[\varphi : \begin{array}{c c c} \mathbb{R}_4[X] &\to& \mathbb{R}_4[X] \\ P &\mapsto& (X^2 + 1)P' - 4XP\end{array}\]

1. Montrer que \(\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_4[X])\).
2. Donner la matrice de \(\varphi\) realtive à la base canonique de \(\mathbb{R}_4[X]\). Déterminer \(\mathrm{Im}\varphi\) et \(\mathrm{Ker}\varphi\).
3. Soit \(P_0 = 1 + X + X^2 + X^3 + X^4\). Déterminer \(Q = \varphi(P_0)\). Résoudre l'équation \(\varphi(P) = Q\) dans \(\mathbb{R}_4[X]\). Déterminer \(\varphi^{-1}(\{Q\})\).

Soit \(s\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice \[S = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}\]

1. Montrer que \(s\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^3\).
2. Soit \(e_1' = (1,1,1)\), \(e_2' = (1,-1,0)\), \(e_3' = (1,1,-2)\). Montrer que \(\mathcal{B}' = (e_1',e_2',e_3')\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Déterminer la matrice \(S'\) de \(s\) dans la base \(\mathcal{B}'\). Déterminer \(S'^n\) puis une méthode pour le calcul de \(S^n\) où \(n\) est un entier naturel non nul.
3. La famille de \((I_3,S)\) est-elle libre dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? Montrer que \(S^2\) peut s'exprimer comme combinaison linéaire de \(S\) et \(I_3\). En déduire que pour tout entier naturel \(n\), il existe un unique couple \((a_n,b_n)\) de réels tel que \(S^n = a_nI_3 + b_S\). Donner les valeurs de \((a_0,a_1,b_0,b_1)\), puis exprimer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\), \(b_n\) pour tout entier \(n\). En calculant \(a_n + b_n\) et \(b_n+1\), déduire \(a_n\) et \(b_n\).
4. Soit \(B = S-2I_3\). Calculer \(B^n\) pour tout entier naturel \(n\). En déduire \(S^n\) en fonction de \(I_3\) et \(B\).

Soit \(n \geq 2\) un entier. On pose \(J\) la matrice de \(M_n(\mathbb{C})\), telle que \(j_{n,1} = j_{k,k+1} = 1\), et dont tous les autres coefficients sont nuls.

Pour \(p \in \mathbb{N}^*\), on pose \(M_p = I_n + J + \dots + J^{p-1}\). Montrer que \(M_p\) est inversible si et seulement si \(p\) et \(n\) sont premiers entre eux.

On pose \(E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), et on note \(D\) l'opérateur de dérivation. Montrer qu'il n'existe pas d'endomorphisme \(\varphi\) de \(E\) tel que \(\varphi^2 = D\).

Soit \(u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\). Déterminer une CNS pour qu'il existe \(v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) tel que \(u+v\) soit inversible et \(u \circ v = 0\).

Soit \(d \geqslant 1\), \(q \geqslant 2\) premier. Montrer qu'il existe exactement \(n_d = q^{d(d-1)}\) matrice nilpotentes dans \(M_n(\mathbb{F}_q)\).

Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})\) et \(\varphi\) le morphisme de projection modulo \(p \geq 3\). Montrer que \(\varphi_{|G}\) est injective.