Semaine 27

1. \(y' + y = \frac{1}{1+e^x}\) sur \(\mathbb{R}\)
2. \((1+x)y' + y = 1 + \ln(1+x)\) sur \(]-1;+\infty[\)
3. \(y'-\frac{y}{x} = x^2\) sur \(]0;+\infty[\)

Soit \(q\) une fonction continue positive sur \(\mathbb{R}\), non nulle. On désigne par \((E)\) l'équation différentielle, \[y'' - qy = 0\] Soit \(y\) une solution de \((E)\).

1. Montrer que \(y^2\) est convexe.
2. Caractériser les solutions bornées de \(E\).
3. On suppose dans cette question que \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\). Montrer que \(y(x) \geqslant 1\).
4. On suppose que dans cette question que \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\). Montrer que \[\forall\ x \geqslant 0,\, y(x) \geqslant x \quad\quad \forall\ x\leqslant 0,\, y(x) \leqslant x\]

Démontrer que toutes les solutions de l'équation différentielle \[ y'(t)-\cos(t)y(t)=0 \] sont bornées.

Considérons maintenant, \[ y'(t)-\cos(t)y(t)=f(t) \]

Montrer que pour tout \(f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})\), telle que \(f(1) = 1\) et \(f(0) = 0\), \[ \frac{1}{e} < \int_0^1 |f'(t)-f(t)| \mathrm{d}t \]

On considère l'équation suivante, d'inconnue \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\), \[ \forall x \geqslant 0,\ x^2 f(x) = 2 \int_0^x t f(x-t) dt \]

1. Montrer que si \(f\) est solution, \(f\) est nécessairement de classe \(C^{\infty}\)
2. Trouver une équation différentielle d'ordre 2 vérifiée par \(f\).
3. En déduire toutes les solutions de l'équation.

Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) et $T-$périodique, avec \(T>0\). Montrer que l’équation différentielle \[ y' + ay = f \] admet une et une seule solution $T-$périodique sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(a,b\) deux fonctions continues, telles que \(a\) est impaire et \(b\) est paire.
Montrer que l'équation différentielle : \[ y'(t) + a(t) y(t) = b(t) \] admet une unique solution impaire.

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 > 0\), et \[\forall\ n\in\mathbb{N},\quad u_{n+1} = \mathrm{Arctan}(u_n)\]

1. Montrer que la suite \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
2. On pose, pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{N}\), \(v_n = \frac{1}{u_{n+1}^\alpha} - \frac{1}{u_n^\alpha}\). À l'aide d'un développement limité, déterminer \(\alpha\) pour que la suite converge vers une limite réelle non nulle.
3. Rappeler le théorème de Césaro. En déduire un développement limité de \((u_n)\).