Semaine 26

Soit \(f\) continue de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}_+^*\). Soit \(M\) le maximum de \(f\) sur \([a,b]\).

1. Justifier l'existence de \(M\).
2. Montrer que, \[\left(\int_a^bf^p\right)^{\frac{1}{p}} \xrightarrow[{p\to+\infty}]{} M\]

Soit \(f\) continue de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\), telle que, \[\forall\ k\in [\![0,n]\!],\, \int_a^b f(t)t^k\mathrm{d}t = 0\] Montrer que \(f\) s'annule au moins \(n+1\) fois sur \(]a,b[\).

1. Soient \(x_0\in]0,1[\), \(\varepsilon > 0\). Construire une fonction \(u \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}_+)\) telle que, \[u(x_0) = 1 \quad \forall\ x\notin [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon], u(x) = 0\]
2. Soit \(g\) continue sur \([0,1]\), telle que, \[\forall\ u\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}_+),\ u(0) = u(1) = 0,\,\int_0^1 g(t)u(t) \mathrm{d}t = 0\] Montrer que \(g = 0\).

Pour \(k \in \mathbb{N}^*\), on pose \(I_k = \int_k^{k+1}\frac{x-\frac{1}{2}-\lfloor x\rfloor}{x} \mathrm{d}x\).

1. Justifier l'existence de \(I_k\).
2. Calculer \(I_k\).
3. On pose \(J_n = \int_1^n\frac{x-\frac{1}{2}-\lfloor x\rfloor}{x} \mathrm{d}x\). Montrer que, \[J_n = n + \left(n+ \frac{1}{2}\right)\ln(n+1) - \ln(n!)\]
4. On donne, \(n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}\). Montrer que \[\ln n! = n\ln n - n + \ln n + \frac{1}{2}\ln 2\pi + o(1)\]
5. Montrer que \((J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge et donner sa limite.

On pose, pour \(n \in \mathbb{N}^*\), \(S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\), \(I_n = \int_0^1 \frac{t^n - t^{2n}}{1-t}\mathrm{d}t\).

1. Justifier la bonne définition de \(I_n\).
2. Montrer que \(I_n = S_n\).

Soit \(F : x \mapsto \int_1^x \frac{\ln(t)}{1+t^2}\mathrm{d}t\).

1. Justifier que \(F\) est bien définie sur \(]0, +\infty[\).
2. Montrer que \(F\) admet un minimum.
3. Montrer que pour tout \(x \in ]0,1],\, \frac{x\ln(x) - x + 1}{2} \leqslant F(x) \leqslant x \ln(x) - x + 1\).
4. Montrer que \(F\) admet une limite en \(0^+\), et que cette limite appartient à \([\frac{1}{2}, 1]\).

1. Donner la définition d'une fonction continue par morceaux.
2. Montrer que la composée de deux fonctions continues par morceaux n'est pas forcément continue par morceaux.

Soit \(f : t \mapsto e^{t^2}\).

1. Pour tout \(x \in \mathbb{R}_+\), montrer qu'il existe un unique \(a(x) \in \mathbb{R}_+\) tel que, \[\int_x^{a(x)} f(t) \mathrm{d}t = 1\]
2. Montrer que \(a(x)\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un unique \(u_n \in \mathbb{R}\), \[\int_{\frac{1}{n}}^{u_n} \exp(x^2/2)\mathrm{d}x = \frac{1}{10n}\]
2. Montrer que \((u_n)\) est convergente.
3. Trouver un équivalent de \((u_n)\)