Semaine 25

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle finie. On note \(\phi_X\) la fonction génératrice des moments définie par, \[ \forall\ t\in\mathbb{R}_+,\,\phi_X(t) = \mathbb{E}[t^X] \]

1. Montrer que \(\phi(0) = 0\), \(\phi(1) = 1\).
2. Montrer que \(\phi\) est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}_+\). Calculer les valeurs des dérivées en \(0\). En déduire que \(\phi_X\) caractérise la loi de \(X\).
3. Montrer que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(\phi_{X+Y} = \phi_X\phi_X\). On admettra que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(f\) et \(g\) deux fonctions alors \(f(X)\) et \(g(Y)\) sont indépendantes.
4. Calculer la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p\). En déduire celle d'une loi binomiale.

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle finie. On note \(F_X\) la fonction de répartition de \(X\) définie par, \[ \forall\ t\in\mathbb{R}_+,\,F_X(t) = \mathbb{P}(X \leq t) \]

1. Calculer les limites de \(F_X\) en \(\pm \infty\).
2. Montrer que \(F\) est croissante.
3. \(F_X\) est-elle continue ? Quels sont ses points de discontinuité ?
4. En déduire que \(F_X\) caractérise la loi de \(X\).
5. Montrer que \(F_X\) est continue à droite et possède une limite à gauche.

On admettra dans tout cet exercice que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(f\) et \(g\) deux fonctions alors \(f(X)\) et \(g(Y)\) sont indépendantes. Soit \(\xi\) une variable aléatoire entière finie. \(m = \mathbb{E}[\xi]\). On pose, \(Z_0 = 1\), \[Z_{n+1} = \sum_{k=1}^{Z_n} \xi_{k}^{(n)}\]

1. En remarquant que \(1 = \sum_{k\in\mathbb{N}} \mathrm{1}_{\{Z_n = k\}}\), montrer que \(\mathbb{E}[Z_{n+1}] = m \mathbb{E}[Z_{n}]\).
2. En déduire \(\mathbb{E}[Z_n]\).

On considère l’expérience de divination suivante. On dispose d’un jeu de 52 cartes distinctes, d’un manipulateur et d’un devin. Le devin ne peut à aucun moment voir le jeu ou le manipulateur, et doit deviner quelle est la carte se trouvant sur le dessus du paquet. Il annonce donc une carte au hasard, et le manipulateur retourne silencieusement les cartes les unes après les autres jusqu’à tomber sur la carte annoncée par le devin. Après quoi ce dernier doit deviner la carte qui suit. Il annonce une carte au hasard parmi les 51 restantes, et le manipulateur continue de retourner les cartes à partir de l’endroit où il s’était arrêté. Ainsi de suite jusqu’à ce que tout le paquet soit retourné.

1. Donner un espace de probabilité correspondant à cette expérience.
2. Montrer que si \(X\) est une variable aléatoire finie à valeurs dans \(\mathbb{N}\), \[ \mathbb{E}[X] = \sum_{k\geq 1} \mathbb{P}(X \geq k) \]
3. Calculer le nombre moyen de cartes devinées par le devin.

Soit \(X_1, \dots, X_n,\dots\) des variables aléatoires réelles finies indépendantes et identiquement distribuées. On suppose de plus que \(X_i\) est symétrique. On pose, \[ S_n = \sum_{k=1}^n X_k \] On pose \(M_n = \max_{k \leq n} S_k\).

1. Montrer que pour tout \(a \geq 0, b \leq a\), \[ \mathbb{P}(M_n \geq a, S_n \leq b) = \mathbb{P}(S_n \geq 2a - b) \]
2. En déduire que \(M_n\) a la même loi que \(|S_n|\).

Soit \(X\) une variable aléatoire uniforme sur \([\![1,n]\!]\) et \(Y\) une variable aléatoire uniforme sur \([\![1,X]\!]\). Déterminer la loi de \(Y\).

Soit \(A_1, \dots, A_n\) des évènements mutuellement indépendants. Montrer que la probabilité qu'aucun des \(A_k\) n'est réalisé est inférieure à \[\exp\left(-\sum_{k=1}^n \mathrm{P}(A_k)\right)\]