Semaine 23

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) à valeurs dans \(]0,1[\). Supposons que \((u_n)\) soit sommable. Montrer que \[ \sum \frac{u_k \ \ln(1/u_k)}{\ln(k)} \] est une série convergente.

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite positive et non sommable. Donner la nature de la série, \[ \sum \frac{u_n}{1+u_n} \]

Donner la nature de la série de terme gérénal, \[ \frac{|\cos(2^n)|}{n} \]

Donner la nature de la série réelle de terme général, \[ \frac{(-1)^{\cos(\sqrt{n})}}{n} \]

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite positive décroissante de limite \(0\). Montrer que la convergence de la série de terme général \(u_n\) équivaut à celle de terme général \(2^pu_{2^p}\).

Soit \(\sigma\) une bijection de \(\mathbb{N}^*\) dans \(\mathbb{N}^*\). Déterminer la nature de la série, \[ \sum \frac{\sigma(n)}{n^2\ln(n)} \]

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) à valeurs dans \(]0,1[\) non sommable. On pose \(S_n = \sum_{k=0}^n u_k\). Soit \(\alpha \geqslant 0\). Montrer que \(\sum u_n S_n^{-\alpha}\) converge si \(\alpha > 1\) et diverge si \(\alpha \leqslant 1\).

Soit \((a_n)\) décroissante, positive de limite \(0\). Soit \((v_n)\) telle que \((V_N) = (\sum_{n=0}^N v_n)\) soit bornée. Montrer que, \[ \sum e_n v_n \] converge.

Étudier la nature de la série, \[ \sum \frac{(-1)^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}}{\sqrt{n}} \]

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que l'équation, \[ \ln(x) = \mathrm{Arctan}(x) + n\pi \] admet une unique solution dans \(\mathbb{R}_+^*\) notée \(x_n\). Quelle est sa limite ?
2. Montrer que la série de terme général \(\frac{1}{x_n}\) est convergente.

Soit \(p_n\) le $n$-ième nombre entier dont l'écriture décimale ne comporte pas de 9. Étudier la nature de la série de terme général \(\frac{1}{p_n}\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par la donnée de \(u_0\) et, \[ \forall\ n\in\mathbb{n},\quad u_{n+1} = \sin(u_n) \]

1. Montrer que \((u_n)\) converge vers \(0\).
2. En étudiant la série de terme général \(u_n - u_{n+1}\), montrer que la série de terme général \(u_n^3\) est convergente.
3. Montrer que les séries de termes généraux \(\ln\left(\frac{\sin u_n}{u_n}\right)\) et \(u_n^2\) sont divergentes.
4. Étudier la convergence de la série \(\sum u_nx^n\) pour toutes les valeurs du réel \(x\).