Semaine 22

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\) espace vectoriel.

1. Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\), vérifiant \(f^5 = f\). Montrer que, \[ \mathrm{Im}f \oplus \mathrm{Ker}f = E \]
2. Plus généralement, soit \(P\) un polynôme tel que \(P(0) = 0\), \(P'(0) = 0\). Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\), tel que \(P(f) = 0\). Montrer que, \[ \mathrm{Im}f \oplus \mathrm{Ker}f = E \]

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\) espace vectoriel de dimension finie \(n\). On se donne \(n\) endomorphismes non nuls de \(E\), \(p_1,\dots,p_n\), tels que pour tout \(1 \leq i,j \leq n\), \(p_i \circ p_j = \delta_{ij}p_i\). Montrer que les sous-espaces \(\mathrm{Im}(p_i)\) sont en somme directe et que pour tout \(i \in [\![1,n]\!]\), \(\mathrm{rg}(p_i) = 1\).

Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\) espace vectoriel de dimension finie \(n \geq 1\). \(G\) un sous-groupe finie de \(\mathrm{GL}(E)\), \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par tous les éléments de \(G\).

1. Soit \(p\) un projecteur sur \(F\). Construire à partir de \(p\) un projecteur \(q\) invariant par conjugaison par les éléments de \(G\).
2. Montrer que \(F\) admet un supplémentaire stable par tous les éléments de \(G\).