Semaine 21

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Soit \(f\) nilpotente. Soit \(e \in E \backslash \{0\}\) et \(r\) le maximum des \(k \in \mathbb{N}^*\) tel que \((e, f(e), \cdots, f^{k-1}(e))\) soit libre. Montrer que \(f^r(e) = 0\).

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Soit \(F_1, \dots F_r\) des sous-espaces vectoriels de \(E\).

On suppose que \(\displaystyle\sum_{i=1}^r\mathrm{dim} F_i > (r-1)n\). Montrer que \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^r F_i \neq \{0\}\).

Bonus: En utilisant la solution de l'exercice, montrer que si \(H_1, \dots, H_r\) sont des hyperplans, \(\displaystyle\mathrm{dim} \bigcap_{i=1}^r H_i \geqslant n - r\).

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\). \(f : E \to \mathbb{R}\) linéaire et surjective.

1. Montrer qu'il existe \(x_0 \in E\), \(E = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Vect}(x_0)\).
2. Soit \(\varphi \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu'il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(f \circ \varphi = \lambda f\) si et seulement si \(\mathrm{Ker}(f)\) est stable par \(\varphi\).

Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels. Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\), \(H\) un sous-espace vectoriel de \(E\).

1. Montrer que \(f(H)\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).
2. Montrer que \(f^{-1}(f(H)) = H + \mathrm{Ker}(f)\)

Montrer que l'ensemble des suites réelles vérifiant, \[\forall\ n\in\mathbb{N},\, u_{n+2} = 2u_{n+1} + 3u_n\] est isomorphe à \(\mathbb{R}^2\).

Soient \(E\) un \(\mathbb{R}-\) espace vectoriel non réduit à \({0}\) et \(f\in\mathcal{L}(E)\), tel que \(f^3 + f = 0\).

1. Montrer que \(\mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f) = E\).
2. Montrer que \(f\) est un automorphisme si et seulement si \(f^2 + \mathrm{Id} = 0\).
3. On suppose désormais que \(f^2 + \mathrm{Id} = 0\). Soit \(x \in E\), \(x \neq 0\). Montrer que \((x, f(x))\) est libre.
4. Soit \((x,y) \in E^2\). On suppose que \((x,f(x),y)\) est libre. Montrer que \((x,f(x),y,f(y))\) est libre.
5. Si \(E\) est de dimension finie, que peut-on dire de sa dimension ?

Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie. Soient \(u\) et \(v\) dans \(\mathcal{L}(E)\).

1. On suppose que \(\mathrm{Vect}(u,v)\) possède un élément inversible. Montrer que \(\mathrm{Ker}(u) \cap \mathrm{Ker}(v) = \{0\}\).
2. Montrer que la réciproque est fausse.