Semaine 20

Un polynôme de \(\mathbb{Z}[X]\) est dit primitif si le \(\mathrm{pgcd}\) de ses coefficients est égal à \(1\).

1. Montrer que pour tout \(p\) premier, \(\mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}}[X]\) est intègre.
2. Montrer que le produit de deux polynômes primitifs de \(\mathbb{Z}[X]\) est primitif.
3. Pour un polynôme \(P \in \mathbb{Z}[X]\), on nomme contenu de \(P\) le \(\mathrm{pgcd}\) de ses coefficients, et on le note \(c(P)\). Montrer que pour tous polynômes \(A,B\in\mathbb{Z}[X]\), \(c(AB) = c(A)c(B)\).
4. Montrer que si \(A \in \mathbb{Z}[X]\) n'est pas irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\) alors il n'est pas irréductible dans \(\mathbb{Z}[X]\).

5. Soit \(A = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1 X_1 + a_0 \in \mathbb{Z}[X]\), \(p\) un nombre premier, on suppose que,

   1. \(p\) ne divise pas \(a_n\),
   2. \(p\) divise \(a_0,\dots,a_{n-1}\),
   3. \(p^2\) ne divise pas \(a_0\).

   Montrer que \(A\) n'est pas irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

6. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(X^n - 2\) est irréductible.

On note \(u_n\) et \(v_n\) les suites définies par, \[ u_n = n - \sum_{k=1}^n \cos\left(\frac{1}{k}\right) \quad\quad v_n = u_n + \sin\left(\frac{1}{n}\right) \] Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.

Soit, pour tout \(x \in \mathbb{R}_+^*\),

• \(N_1(x)\) le nombre d'entiers naturels \(n \leqslant x\) de la forme \(a^m\), \(a \geqslant 2, m \geqslant 2\),
• \(N_2(x)\) le nombre d'entiers naturels \(n \leqslant x\) de la forme \(n = a^b + c^d\), \(a,b,c \geqslant 2, d \geqslant 3\),
• \(N(x)\) le nombre d'entiers naturels \(n \leqslant x\) de la forme \(a^b + c^d\), \(a,c \geqslant 0, b,d \geqslant 2\).
• Montrer que \(N_1(x) = O(\sqrt{x}\ln(x))\),
• Montrer que \(N_2(x) = O(x^{\frac{5}{6}}\ln(x)^2)\).
• En déduire que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(A > 0\), tel que pour tout \(x > A\), \[ N(x) \leqslant \left(\frac{3}{4}+\varepsilon\right)x. \]

Soit \(k\in\mathbb{N}^*\), pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose \[ u_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{kn} \]

1. Justifier que pour tout \(x \geqslant 1\), \[ \frac{x-1}{x} \leqslant \ln x \leqslant x-1 \]
2. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \[ \frac{1}{n+1} \leqslant \ln(n+1) - \ln(n) \leqslant \frac{1}{n} \]
3. Montrer que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) est convergente. Déterminer sa limite et estimer la vitesse de convergence.

Soit \(P\) et \(Q\) deux polynômes de degré au plus \(n\) et \(x_0 \in \mathbb{R}\). Montrer que si, \[ P(x) - Q(x) = o((x-x_0)^n) \] au voisinage de \(x_0\), alors P = Q.

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites positives telles que, \[ \sum_{k=0}^{+\infty}v_k = +\infty. \] Montrer que si \(u_n = o(v_n)\), alors \(\sum_{k=0}^n u_k = o\left(\sum_{k=0}^n v_k\right)\). Que dire si \(u_n \sim v_n\) ?.