Semaine 2

Soit \(x_1,\dots,x_n \in \mathbb{R}\), montrer que, \[ n\sum_{k=1}^n x_k^2 - \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 \]

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles quelconques, non vides.

1. On suppose qu'il existe une surjection de \(E\) dans \(F\). Montrer qu'il existe une injection de \(F\) dans \(E\).
2. On suppose qu'il existe une injection de \(E\) dans \(F\). Montrer qu'il existe une surjection de \(F\) dans \(E\).

On définit l'ensemble de Cantor de la manière suivante : \[\begin{cases} \mathcal{A}_0 = [0,1] \\ \forall\ n\in\mathbb{N},\quad \mathcal{A}_{n+1} = \frac{\mathcal{A}_n}{3} + \frac{2 + \mathcal{A}_n}{3} \\ K_3 = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \mathcal{A}_n \end{cases}\]

1. Construire une bijection de \(\{0,1\}^\mathbb{N}\) dans \(K_3\).
2. En déduire une bijection de \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) dans \(K_3\).
3. Trouver deux bijections de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), \(f\) et \(g\), telles que \(K_3 = f(K_3) \sqcup g(K_3)\).

Soit \(f\) une application de \(X\) dans \(Y\). Montrer que \(f\) est injective si et seulement si, pour tout parties \(A\), \(B\) de \(X\), \(f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)\).

Soit \(E\) un ensemble. Soit \(\mathcal{P}(E)\) l'ensemble des parties de \(E\). On dit que \(\mathcal{A}\) est une tribu de \(E\) si,

• \(E \in \mathcal{A}\),
• \(\forall B \in \mathcal{A},\, ^cB \in \mathcal{A}\),
• \(\forall (B_n)_{n\in\mathbb{N}},\, \cup_{i=1}^n B_i \in \mathcal{A}\).

Soit \(\mathcal{A}\) une tribu de \(E\).

1. Montrer que le vide appartient à \(\mathcal{A}\).
2. Montrer que \(\mathcal{A}\) est stable par intersection dénombrable.
3. Soit \(f : F \to E\) une application. Montrer que \(f^{-1}(\mathcal{A}) = \{f^{-1}(B),\, B\in\mathcal{A}\}\) est une tribu.

Soient \(E, F, G\) des ensembles, \(f : F \to G\). Montrer que \(f\) est injective si et seulement si, \[ \forall g,h : E \to F,\, f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h \]

Soient \(E,F\) deux ensembles. Soit \(f : E \to F\). Montrer que, \(f\) est injective si et seulement si, \[ \forall A \subset F,\, f^{-1}(f(A)) = A \]