Semaine 19

1. \(\cos \circ \sin\) au voisinage de \(0\), à l'ordre 5.
2. \(\tan\) au voisinage de \(0\) à l'ordre 5. Citer d'autres méthodes pour l'obtenir.
3. \(\displaystyle\ln\left(\frac{\mathrm{sh}(\frac{1}{n})}{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}\right)\) à l'ordre 3.

Soit \(f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*, \mathbb{R})\), telle que, \[\forall\ x > 0,\, f(x+1) = x f(x) \quad \text{et} \quad f''(x) > 0\]

1. Exprimer \(f(n)\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
2. Montrer qu'il existe \(\alpha \in ]1,2[\), tel que \(f'(\alpha) = 0\). En déduire les variations de \(f\).
3. Montrer que \(f\) est de signe constant sur \(\mathbb{R}_+^*\). Déterminer son signe.
4. Déterminer la limite de \(f\) en $+\

Soit \(n \in \mathbb{N}\), soit \(f : x\mapsto (e^x-1)^n\).

1. Montrer que pour tout \(k < n\), \(f^{(k)}(0) = 0\), et que \(f^{(n)}(0) = n!\). On pourra raisonner par récurrence sur \(n\).
2. Soit \(k\in\mathbb{N}\), rappeler le développement limité de \(x \mapsto e^{kx}\) en \(0\) à un ordre \(n\) quelconque.
3. Soit \(n \in \mathbb{N}\), à l'aide du binôme de Newton et de la question précédente, montrer que, \[(e^x-1)^n = \sum_{m=0}^n \frac{x^m}{m!}\binom{n}{k} \left(\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} k^m\right) + o(x^n)\]
4. Déduire des questions précédentes que, \[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} k^m = \delta_{n,m}(-1)^n n!\]

Soit \(A \subset \mathbb{R}^2\). On dit que \(A\) est convexe, si et seulement si, \[\forall\ x,y \in A,\, \forall\ \lambda \in [0,1],\quad \lambda x + (1-\lambda)y \in A\] Pour une fonction \(f\), on nomme épigraphe l'ensemble, \[\{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, y \geqslant f(x)\}\]

1. Donner une interprétation graphique de la convexité d'une partie, et de l'épigraphe d'une fonction.
2. Montrer que si \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est convexe, alors l'épigraphe de \(f\) est convexe.
3. Montrer la réciproque.

Caractériser les fonctions convexes bornées.

On note \(f : x \mapsto x + \ln(1+x)\).

1. Montrer que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur un certain ensemble à préciser.
2. Donner le développement limité à l'ordre 3 en \(0\) de la réciproque de \(f\).

Déterminer trois réels, \(a,b,c\) pour que la fonction, \[f : x \mapsto a \cos(x) + b \cos(2x) + c \cos(3x)\] soit un infiniment petit d'ordre aussi élevé que possible, et en donner son développement limité.

Soit \(P\in\mathbb{R}[X]\). Que peut-on dire du signe de la fonction \(x \mapsto P(x)\) autour d'une racine \(\lambda\) en fonction de sa multiplicité ?

Soit \((x_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite de réels deux à deux distincts, bornés par \(1\). Pour tout \(n \in \mathbb{N},\, x\in [-1,1]\), on pose, \[f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{|x-x_k|}{2^k}\]

1. Montrer que pour tout \(x \in [-1,1]\), \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} f_n(x)\) existe et est finie.
2. Montrer que \(f\) est continue.

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Soit \(\mathcal{P}\) l'ensemble des familles \((p_i)_{i\in[\![1,n]\!]}\) de réels compris entre \(0\) et \(1\) tels que, \[\sum_{i=1}^n p_i = 1\]

On définit l'entropie de Shannon comme étant la fonction, \[\mathrm{H} : \left\{\begin{array}{c c c} \mathcal{P} & \to & \mathbb{R} \\ (p_i)_{i\in [\![1,n]\!]} & \mapsto & -\sum_{i=1}^n p_i \ln(p_i) \end{array}\right.\] où l'on choisit la convention \(0 \ln (0) = 0\).

1. Montrer que \(\mathrm{H}\) est positive. Pour quelle famille est-elle nulle ?
2. Soit \(p, q \in \mathcal{P}\). On souhaite établir l'inégalité de Gibbs à l'aide d'une inégalité de concavité, à savoir que, \[\mathrm{H}(p) \leqslant \sum_{i=1}^n p_i \ln\left(q_i\right)\]
3. À l'aide de l'inégalité de Gibbs, montrer que \(\mathrm{H}(p) \leqslant \ln(n)\), pour qu'elle famille est-elle atteinte ?