Semaine 18

Soient \(f\) et \(g\) deux applications continues de \([0,1]\), dans \([0,1]\), telles que \(f \circ g = g \circ f\). Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe \(x_0 \in [0,1]\) , \(f(x_0) = g(x_0)\). Par l'absurde, on suppose que pour tout \(x \in [0,1],\ f(x) \neq g(x)\). Soit \(\delta = g(0) - f(0)\).

1. On suppose que \(\delta > 0\),
   1. Montrer l'existence d'un réel \(m > 0\), tel que \[\forall\ x\in[0,1],\quad g(x) \geqslant f(x) + m\]
   2. Montrer que pour tout \(x \in [0,1],\ g\circ g(x) \geqslant f \circ f(x) + 2m\)
   3. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), minorer la fonction \(g^{\circ n} - f^{\circ n}\) en fonction de \(m\) et de \(n\). En déduire une contradiction
2. Démontrer le résultat annoncé.

Soit \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})\). On suppose que, \[\lim_{x\to 0}\frac{f(2x) - f(x)}{x} = 0\] La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(0\) ?

On note \[\varphi : \left\{\begin{array}{c c c} \mathbb{R}_+^* & \to & \mathbb{R} \\ x &\mapsto & \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) \end{array}\right.\] Montrer que \(\varphi\) est prolongeable par continuité sur \(\mathbb{R}_+\), et que ce prolongement est \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}_+\).

Indication : On peut montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un polynôme \(P_n\) tel que \(\varphi^{(n)}(x) = P_n\left(\frac{1}{x}\right)\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)\) .

Soit \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geqslant 2\), \((a,b) \in \mathbb{R}^2\). On note \(f : x \mapsto x^n + ax + b\). Montrer que \(f\) possède au plus trois zéros sur \(\mathbb{R}\).

Soit \(f\) une fontion dérivable de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\), bornée sur \(\mathbb{R}_+\), telle que \(f(0) = 0\). Montrer qu'il existe \(C > 0\) tel que, \[\forall\ x\in\mathbb{R}_+,\quad\quad |f(x)| \leqslant Cx\]

On note \(f\) la fonction, \[x \mapsto x\sqrt{\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor}\]

1. Montrer que pour \(x \in \mathbb{R}^*,\, |f(x)| \leqslant |x|\).
2. Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\). On notera encore \(f\) son prolongement.
3. La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(0\) ?
4. En quels points de \(\mathbb{R}_+\) l'application \(f\) est-elle continue ?

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) dérivables en \(x_0\). On pose, \[h : x \mapsto \max\{f(x), g(x)\}\]

À quelle condition \(h\) est-elle dérivable en \(x_0\) ?

Soit \(f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})\). On suppose que pour tout \(x \in [0,1]\), \((f(x), f'(x)) \neq (0,0)\).

Montrer que \(f\) ne possède qu'un nombre fini de zéros.

Indication : On pourra utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass

Soit \(f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*, \mathbb{R})\), telle que, \[\forall\ x > 0,\, f(x+1) = x f(x) \quad \text{et} \quad f''(x) > 0\]

1. Exprimer \(f(n)\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
2. Montrer qu'il existe \(\alpha \in ]1,2[\), tel que \(f'(\alpha) = 0\). En déduire les variations de \(f\).
3. Montrer que \(f\) est de signe constant sur \(\mathbb{R}_+^*\). Déterminer son signe.
4. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).