Semaine 17

Soit \(f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\), croissante. On suppose que, \[x \mapsto \frac{f(x)}{x}\] est décroissante.
Montrer que \(f\) est continue.

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), continue.

1. On suppose que \(\cos \circ f\) est constante. La fonction \(f\) est-elle constante ?
2. On suppose que \(\sin \circ f\) admet une limite réelle en \(+\infty\). La fonction \(f\) admet-elle une limite réelle en \(+\infty\).

Déterminer les \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})\), \[\forall\ x\in\mathbb{R},\quad f(x) = f(\sin x)\]

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction continue, telle que, \[\begin{cases} f(\sqrt{2}x) = 2 f(x) \\ f(x+1) = f(x) + 2x + 1 \end{cases}\]

Soit \(f\) une fonction continue, telle que, \[\forall\ x,y\in \mathbb{R},\quad f(\sqrt{x^2+y^2} = f(x)f(y)\]

Soit \(I\) un intervalle. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\), un polynôme scindé sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f\) une fonction continue de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), telle que \(P(f) = 0\). Montrer que \(f\) est constante.

Soit \(x_0 \in ]0,1[\), \(\varepsilon > 0\). Construire une fonction \(u \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}_+)\), telle que, \[\begin{cases} u(x_0) = 1 \\ \forall x\notin [x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon], u(x) = 0 \end{cases}\]

Existe-t-il une application continue de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), telle que, \[\forall x \in \mathbb{R},\quad f\circ f = -x\]