Semaine 16

Soit \(E\) un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\). On appelle recouvrement de \(E\) par des ouverts$ une famille \((U_i)_{i\in I}\) d'ouverts tels que \(E \subset \bigcup_{i\in I} U_i\). Le recouvrement est dit *fini si la famille \((U_i)_{i\in I}\) est une famille finie.

On suppose que \(E\) vérifie la propriété suivante (propriété de Borel-Lebesgue) : de tout recouvrement de \(E\) par des ouverts de \(\mathbb{R}\), on peut extraire un recouvrement fini.

1. Montrer que \(E\) est borné.
2. Montrer que \(E\) est fermé.
3. Peut-on montrer la même chose dans \(\mathbb{C}\) ?
4. Montrer que si \(E\) est compact alors \(E\) vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.

Soit \(\mathcal{B}\) une famille d'ouverts. On dit que \(\mathcal{B}\) est une base d'ouverts quand pour tout ouvert \(U\), il existe \((B_i)_{i \in I} \subset \mathcal{B}\) tel que, \[ U = \bigcup_{i\in I}B_i \]

1. Montrer qu'il est équivalent de dire que \(\mathcal{B}\) est une base de topologie si, pour tout ouvert \(U\), \(x \in U\), il existe \(B \in \mathcal{B}\), tel que \(x \in B \subset U\).
2. Montrer que les boules forment une base de topologie.
3. Soit \(\mathcal{B}\) une base. Alors \(\mathbb{K} = \bigcup_{B\in\mathcal{B}} B\) et pour tous \(B_1,B_2 \in \mathcal{B},\, x \in B_1\cap B_2\), il existe \(B_3 \in \mathcal{B}\), tel que \(x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2\).

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite réelle. On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(a_n = \sup\{u_k,\ k \geqslant n\}\) et \(b_n = \inf\{u_k,\ k \geqslant n\}\).

1. Justifier l'existence de ces deux suites.
2. Montrer que \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) convergent.
3. Montrer que \(\lim a_n\) (resp. \(\lim b_n\)) est la plus grand (resp. la plus petite) valeur d'adhérence de \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
4. Montrer que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge si et seulement si \(\lim a_n = \lim b_n\).

On définit l'ensemble de Cantor de la manière suivante : \[\begin{cases} \mathcal{A}_0 = [0,1] \\ \forall\ n\in\mathbb{N},\quad \mathcal{A}_{n+1} = \frac{\mathcal{A}_n}{3} + \frac{2 + \mathcal{A}_n}{3} \\ K_3 = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \mathcal{A}_n \end{cases}\]

1. Faire un dessin.
2. Construire une bijection de \(\{0,1\}^\mathbb{N}\) dans \(K_3\).
3. En déduire une bijection de \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) dans \(K_3\).
4. Montrer que \(K_3\) est compact.
5. Montrer que \(K_3\) est d'intérieur vide.
6. Montrer que \(K_3\) ne possède pas de point isolé.

Soit \(\lambda > 0\). Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(B_n\), \[ B_n = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\, \left(x-\frac{1}{n}\right)^2 + \left(y-\frac{1}{n}\right)^2 \leqslant \frac{\lambda^2}{n^2}\right\} \]

1. À quelle condition sur \(\lambda\) a-t-on \(B_{n+1} \subset B_n\) ?
2. Soit \(B = \bigcup_{n\geqslant 1} B_n\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\lambda\) pour que \(B\) soit fermé.

Soit \(K\) un compact. Montrer qu'il existe une unique boule fermée de rayon minimum qui contienne \(K\).