Semaine 15

On pose \(B_{n,k} = X^k(1-X)^{n-k}\), pour \(0 \leqslant k \leqslant n\). Montrer que \((B_{n,k})_{0\leqslant k \leqslant n}\) est une base de \(\mathbb{R}_{n}[X]\).

On admet dans cet exercice que la trace de toute matrice nilpotente est nulle.

1. L'ensemble des matrices nilpotentes est-il un sous-espace vectoriel ?
2. Exprimer \(E_{ij}E_{kl}\) à l'aide d'une matrice élémentaire et du symbole de Kronecker.
3. Calculer \(E_{ij}^2\), pour \(i \neq j\).
4. Calculer le carré de \(E_{11} - E_{ii} - E_{1i} + E_{i1}\), pour \(i \neq 1\).
5. Montrer que l'espace engendré par les matrices nilpotentes est celui des matrices de trace nulle.

Quelle est la dimension de \(\mathbb{R}-\) espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) ?

Soit \((a_0,\dots, a_{p-1}) \in \mathbb{C}^{p}\), trouver la dimension de l'espace des suites complexes \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), telles que, \[\forall\ n\in\mathbb{N}, \quad u_{n+p} = \sum_{k=0}^{p-1} a_ku_{n+k}\]

Calculer la dimension de \(F\) l'ensemble des suites de \(\mathbb{C}\) telles que, \[\forall\ n\in\mathbb{N},\quad n(n-1)(n-2) u_n = n(n-2) u_{n+1}\]

Calculer la dimension l'ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), vu comme un \(\mathbb{R}-\) espace vectoriel, telles que, \[\overline{M}^T = M\]

Soit \(f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})\), \(n \in \mathbb{N}^*\), \((b_0, \dots, b_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\) avec \(b_0 < b_1 < \dots < b_n\).
Montrer qu'il existe \((a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\) tels que, \[\forall\ P\in\mathbb{R}_{n}[X],\quad \int_0^1 f(t) P(t) \mathrm{d}t = \sum_{k=0}^n a_k P(a_k)\]

Pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), on pose, \[ P_k = \frac{X(X-1)\dots(X-k+1)}{k!} \] et \(P_0 = 1\).

1. Montrer que la famille des \((P_k)_{k\in\mathbb{N}}\) est une base de \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{Z}\), \(P_k(x) \in \mathbb{Z}\).
3. Trouver \(\{P\mid \forall\ x\in\mathbb{Z},\ P(x) \in \mathbb{Z}\}\)

Montrer qu'il existe \(a_0,\dots,a_n \in \mathbb{R}\), tel que, \[ \forall\ P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \sum_{k=0}^n a_k P(X+k) = 0. \]