Semaine 13

Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) unitaire de degré \(n \geqslant 1\). Montrer que \(P\) est scindé sur \(\mathbb{R}\), si et seulement si, pour tout \(z \in \mathbb{C}\), \(|P(z)| \geqslant |\mathrm{Im}(z)|^n\).

Soit \(P = (X+1)^7 - X^7 - 1\). Montrer que \(j\) est racine de \(P\). Déterminer sa multiplicité.

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On pose \(P = \frac{x^n(1-x)^n}{n!}\).

1. Donner la forme développée de \(P\).
2. Montrer que les dérivées \(P^{(k)}(0)\), \(P^{(k)}(1)\) sont entières pour tout \(k\geqslant 0\).
3. Montrer que pour tout \(x \in ]0,1[\), \(0 < P(x) < \frac{1}{4^nn!}\).

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(n \in \mathbb{N}\) pour que \((X^2+X+1)\) divise \(X^{2n} + X^n + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Montrer que \(X^5 - X^2 + 1\) possède une unique racine réelle, et que celle-ci est irrationnelle.

Trouver tous les polynômes \(P\) tels que \(P'\) divise \(P\).

1. Rappeler les sous-groupes finis de \(\mathbb{C}\).
2. Soit \(P\) un polynôme de \(\mathbb{C}[X]\), tel que \(\forall\ a,b \in \mathbb{C}^*,\ P(a) = P(b) = 0\), alors \(P(ab) = 0\). Que dire sur \(P\) ?

Soient \(a, b, c \in [0,1]\). Montrer qu'il existe \(\alpha, \beta, \gamma\), tels que, \[ \forall\ P \in \mathbb{R}_2[X],\quad \int_0^1 P(x) \mathrm{d}x = \alpha P(a) + \beta P(b) + \gamma P(c) \] et les calculer.

Factoriser \(X^{2n} + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Soit \(P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n \in \mathbb{C}[X]\), \(a_n \neq 0\). On note \(x_1, \dots, x_n\) les racines de \(P\), comptées avec multiplicités.

1. Calculer \(x_1^2 + \dots + x_n^2\), en fonctions des \(a_i\).
2. Si \(a_0 \neq 0\), \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k^2}\).

Montrer que les racines du polynôme complexe : \[X^n - \sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i\] sont de module majoré par, \[\max\left\{1, \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\right\}\]

La suite des polynômes de Hilbert est définie par : \[H_0=1 \quad\quad \forall\ n\in\mathbb{N},\quad H_n = \frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1}(X-k)\]

1. Pour \(n \in \mathbb{N}\), \(j \in \mathbb{Z}\), calculer \(H_n(j)\). On utilisera des coefficients binomiaux, et on distinguera \(3\) cas.
2. Montrer que les \(\{H_n, n\in\mathbb{N}\}\) engendrent \(\mathbb{R}[X]\).
3. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\). Montrer que \(P(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z}\), si et seulement si \(P\) est combinaison linéaire à coefficients dans \(\mathbb{Z}\) des \(H_n,\, n\in \mathbb{N}\)

Soient \(r \in \mathbb{R}\), \(P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]\) tel que : \[\forall\ k\in [\![1,n]\!],\quad P(k) = r^k\] Calculer \(P(n+1)\).

Soit \(P\) un polynôme tel que, \[P(X^2) = P(X-1)P(X+1)\]

1. Montrer que si \(z\) est racine de \(P\), il existe une racine de \(P\) de module strictement supérieur à \(|z|\).
2. En déduire les polynômes \(P\) vérifiant cette relation.

1. Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) de degré \(n \geqslant 1\). On suppose qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\), tel que \(P(k), P(k+1), \dots, P(k+n)\) soient dans \(\mathbb{Z}\). Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{Z},\ P(x) \in \mathbb{Z}\).
2. Soit \(P \in \mathbb{Z}[X]\) de degré \(n \geqslant 1\). On note \(N\) le pgcd \(P(0), P(1), \dots, P(n)\). Montrer que \(N\) divise \(P(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{Z}\).
3. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) de degré \(n\) tel que \(P(0), P(1), P(4), \dots, P(n^2)\) soient dans \(\mathbb{Z}\). Montrer que pour tout \(a \in \mathbb{Z}\), \(P(a^2) \in \mathbb{Z}\).

Indication : \(\forall\ x \in \mathbb{Z},\ L_i (x) \in \mathbb{Z}\) (le produit de \(k\) entiers consécutifs est divisible par \(k!\).

Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(P\) induise une surjection de \(\mathbb{Q}\) sur \(\mathbb{Q}\).

Questions intermédiaires :

1. Considérer tout d'abord la condition \(P(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}\). Qu'en déduit-on sur \(P\) ?
2. Montrer que les polynômes de degré \(1\) à coefficients rationnels conviennent.
3. Considérons \(P \in \mathbb{Z}[X]\) surjectif de \(\mathbb{Q}\) sur \(\mathbb{Q}\), soit \(m\) un nombre premier tel que et \(\frac{p}{q}\) un antécédant par \(P\), en calculant \(q^n P\left(\frac{p}{q}\right)\), montrer que \(m\) divise \(q^n\), puis \(q\).
4. Montrer que \(m\) divise \(a_n p^n\) et en déduire une contradiction.